2010-2012年全国高中数学联合竞赛试题(一试、加试(3)

加 试

1. （40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．

2. （40分）设k是给定的正整数，r k

1

．记f(1()r) 2

f( r) r，r

f(l)(r) f(f(l 1)(r)),l 2．证明：存在正整数m，使得f(m)(r)为一个整数．这里， x 表示不

小于实数x的最小整数，例如： 1， 1 1．

2

1