偏微分方程期末考试试题(07)(4)

相应的固有函数为yn x e

三、解：u x,t

1 x2

sinn x

x at1

x at x at 1 x at d ……………………….5分 22a11x at

u x,t sin x at sin x at cos d

22a x at

1

sin x at sin x at ……………………….10分 sinxcosat 2a1

sinxcosat cosxsinat ……………………….15分

a

四、解：作辅助函数

x 0 x ,

x

x ,x 0x 0 x ,

x

x ,x 0

由达朗贝尔公式得

11x at

u x,t x at x at d x at22a

1x at 1

x at x at 2a x at d ,t 2

1 x at at x 1x at d ,t

2a at x

2

11

p'n 1 x p'n 1 x dx 002n 1

11

pn 1 x pn 1 x 0 2n 11

pn 1 0 pn 1 0 2n 1

x

a xa

五、解： pn x dx

1

因为n为偶数，所以n 1，n 1为奇数，有pn 1 0 pn 1 0 0

故

p x dx 0

n

n 1

1

六、解：解：f x cnpn x c0p0 x cnpn x ，计算系数有

n 0

c0

11111

fxpxdx dx 0 1 1 222