【成才之路】2016年春高中数学 第2章 解三角形 章末归纳总结课件 北师大版必修

成才之路 ·数学北师大版 ·必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章解三角形

第二章 本章归纳总结

1

知 识 结 构

2

知 识 整 合

3

专 题 研 究

知识结构

知识整合

1.深化对正、余弦定理的理解 正弦定理与余弦定理是三角形边角关系的重要定理，要理 解两个定理及其变形. (1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的 a b c 比相等，即：在△ABC 中，sinA=sinB=sinC.

正弦定理有以下三种变形形式： ①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; a b c ②sinA=2R,sinB=2R,sinC=2R; 其中 R 是△ABC 外接圆的半径. ③abc=sinAsinBsinC.

(2)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平 方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即：a2= b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB, c2=a2+b2-2abcosC. 余弦定理的推论： b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 cosA= 2bc ,cosB= 2ac ,cosC= 2ab .

2.剖析斜三角形的类型与解法 正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个 元素(三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的 元素),如果其中三个元素是已知的(至少要有一个元素是边),

那么这个三角形一定可解.关于斜三角形的解法，根据已知条件及适用的定理，可以归纳为以下四种类型(设三角形为 △ABC,A、B、C所对的边分别为a、b、c):

已知条件

应用定理

一边和两角(如 正弦定理 a,∠B,∠C) 两边和夹角(如 余弦定理 a,b,∠C) 正弦定理 三边(a,b,c) 余弦定理 两边和其中一 边的对角(如 a,b,∠A) 正弦定理 余弦定理

一般解法 由∠A+∠B+∠C=180°,求角 A;由正弦定理求出b与c,在有解 时只有一解. 由余弦定理求第三边c;由正弦定 理求出一边所对的角；再由∠A+ ∠B+∠C=180°求出另一角，在 有解时只有一解. 由余弦定理求出角A、B;再利用 ∠A+∠B+∠C=180°,求出角 C,在有解时只有一解. 由正弦定理求出角B;由∠A+∠B +∠C=180°,求出角C;再利用 正弦定理或余弦定理求c,可有两 解、一解或无解.

特别提醒：在用正弦定理求角、用余弦定理求边的时候常 出现增解的情况，因此需根据三角形中边、角的关系进行取 舍.

3.解三角形常用的边、角关系及公式总结 (1)三角形内角和等于 180° . (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. (3)三角形中大边对大角，小边对小角. (4)三角函数的恒等变形： sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC, A+B A+B C C sin 2 =cos 2 ,cos 2 =sin 2 . (5)三角恒等变换公式，如和、差角公式，倍角公式的正用 与逆用等.

4.解读判断三角形形状的两种方法 判断三

角形的形状，应围绕三角形的边、角关系进行思

考，此类题目一般采用以下两种方法求解：(1)利用正弦定理化边为角，通过三角运算判断三角形的形 状.

(2)利用余弦定理化角为边，通过代数运算判断三角形的形状. 注意：根据余弦定理判断三角形的形状时，当a2+b2<c2, b2+c2<a2,c2+a2<b2中有一个关系式成立时，该三角形为钝角 三角形，而当a2+b2>c2,b2+c2>a2,c2+a2>b2中有一个关系式

成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论.