高等数学中数列极限定义的处理方法

第!*卷第+期!""!年)月

沈阳工业大学学报

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关于高等数学中数列极限定义的处理方法

章海峰

（抚顺职业技术学院基础部，辽宁抚顺##+#""）

摘关

要：针对在高等数学的教学中，学生对描述数列极限的“语言难以把握和理解的现象，提!"”!键

词：高等数学；数列极限；“语言!"”!

文献标识码：-

出了由实例描述与抽象定义相结合的教学方式，为学生解决这一难点提供了有效的方法(中图分类号：,#*+

因此可以找日常生活中的具体例子与它作类比，

#从极限的产生发展看数列极限教学

早在二千多年前，我们的祖先就已经能够算

出方形、圆形、圆柱等几何图形的面积和体积(公刘徽创立割圆术，就是用圆内接正多边元+世纪，

形面积的极限是圆面积这一思想来近似计算圆周率的，并指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣”(

在西方，阿基米德就曾把半径为#的圆作为圆的内接正多边形的“极限”(通过边数无限增加，求出了!直至意大利文!近似值(在整个中世纪，艺复兴时期，数学家们就曾用各种类型极限来计算面积(牛顿、莱布尼兹以及后来的法国科学家柯西，对于极限已有相当好的直观理解，已可计算一些复杂问题的极限(但是，他们都只是直观感受到极限的存在，从没有给极限下过定义(在之后的约一个世纪时间里，极限的纯粹直观概念阻滞了微积分发展的进程(#.’*年法国数学家达郎贝尔提出：微积分的逻辑基础最终将归之于极限概念(直到#&世纪)"年代，法国数学家外尔斯特拉斯提出了极限概念的系统阐述，加上实数理论的建立，才使极限概念建立在严密的理论基础之上，而被世人广泛接受(这就是用“，“语言来描!"”!"”!!述极限的精确定义(由此看来，极限的概念以及精确定义，既是微积分理论的基础，也是形成数学抽象思维的基础(

把抽象概念通俗化、现实化，效果良好(

实例：吃面包(

吃的方式是：第一次吃一半(以后每次吃剩余的一半，问何时可把面包吃完？能不能吃完？显然，过程中每次剩余的面包可用数列表示为

!#

（），…，（），…#，!!!

且只要取定一个次数#，面包渣子（

（#）

#

）就存在$!

因此，从理论上来说面包永远吃不完$但实际上只要一直吃下去（次数#无限增大），面包渣会无限接近于（）（"吃光！$数学上可表示##

）!"或!

#

）%"要多小有多小，这个"在数学上就叫!

如上所述的“无限增大”、“无限接近”、“要多

做数例（#）的极限$

小有多小”是描述性语言，既没有数量的分析，也没有严谨的定义(因而无法应用它在理论上进行推理和论证(必须把它们翻译为数学式子才能得到精确的数学定义，故进行如下转化：

（#）“吃的次数#无限增大”可表示为：#!/$

（!）“面包渣子（##

）无限接近于"或!

#

）$"要多小有多小”可用一系列不等式来!

表示(

##

）和"接近程度或!

##），即%"&#%"小的程度是!#""#""!，解不等式得#’)，说明有一串不等式满足""）

如果要求（

!用实例的描述语言向抽象定义转化

在教学中，因为极限概念具有高度的抽象性

以及它所表达的定义内容和现实例子难于接口(

收稿日期：!""#$"%$!&

作者简介：章海峰（#&’%$），男，河北宛平人，抚顺职业技术学院高级讲师(

"’’要求，即

沈阳工业大学学报第"-卷

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!!，…#!$"!$$"如果认为

!!

不够小，要求#!$"!$$"

（,）本质上!是一个常!是任意给定的正数，

数，但它具有两重性：一是任意性，它不是一个固定的常数，它在*(#!)*"!中表示(#与)无限接近的程度；二是相对固定性，就相!一旦选定，对固定为数量是!的数；

（-）在考察数列极限存在的过程中，只针对至于#%’以后的所有项(#满足*(#!)*"!，之前的项对该极限无影响；

（&）在邻域（)!!，中，分析当#!()+!）这时解得#%!’，于是又有一串$!$!&，

!$$$$$

不等式满足要求

"!#!$"!$!&"!%!$"!$!&，…，"

#!$"!$!&，…经过两次验证，（

"

）#

和$接近程度可以小于!$!&，

但对极限过程来说还远没有完成&因为!$!&这个数对于

“衡量”无限接近于$来说仍然很大，因此必须对更小的数进行验证，可是比!$!&小的数仍有无限个，不可能一一验证&为此可先给定一个任意小的正数!，令#!(，看能否找到一

个正整数’，

使得在’项之后的所有项与$的接近程度都小于!，如果这样的数存在，就说（"

）

#

与$无限接近或说"

）#

!$达到了要多小有

多小的要求，于是$就是数列的极限&显然这样的验证具有普遍的意义&于是可以得出数列｛(#｝无限接近于常数)的 …… 此处隐藏：3716字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……