专题04 因动点产生的特殊四边形问题-2018版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘

【类型综述】

特殊四边形的几何动点问题，很多困难源于问题中的可动点，常见的动点四边形有平行四边形、矩形、菱形等问题，其中尤其是平行四边形的问题出现次数最多。实际上，求解特殊四边形的动点问题，关键是利用图解法抓住它运动中的某一瞬间，寻找合理的代数关系式，确定运动变化过程中的数量关系、图形位置关系，分类画出符合条件的图形进行讨论，就能找到解决问题的途径，有效避免思维混乱。21·cn·jy·com 【方法揭秘】

我们先思考三个问题：

1．已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？

2．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？

3．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分？

图1 图2 图http://www.77cn.com.cn

如图1，过△ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D．

如图2，已知A(0, 3)，B(－2, 0)，C(3, 1)，如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？2-1-c-n-j-y 点B先向右平移2个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与CD平行且相等，所以点C(3, 1) 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D(5, 4)．2·1·c·n·j·y

如图3，如果平行四边形ABCD的对角线交于点G，那么过点G画任意一条直线（一般与坐标轴垂直），点A、C到这条直线的距离相等，点B、D到这条直线的距离相等．www-2-1-cnjy-com

关系式x A＋x C＝x B＋x D和y A＋y C＝y B＋y D有时候用起来很方便．

我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合．

如图4，点A是抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的一个动点，AB⊥x轴于点B，线段AB交直线y＝x －1于点C，那么

点A的坐标可以表示为(x,－x2＋2x＋3)，

点C的坐标可以表示为(x, x－1)，

线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为

AB＝y A＝－x2＋2x＋3，

线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标图4

表示为AC＝y A－y C＝(－x2＋2x＋3)－(x－1)＝－x2＋x＋2．

通俗地说，数形结合就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐标表示点到坐标轴的距离．21世纪教育网版权所有

【典例分析】

例1 如图1，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝a(x－2)2＋经过A、B两点，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．

（1）求a，的值；

（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标；

（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A、C、M、N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．】

图1

思路点拨

1．第（2）题的等腰三角形只考虑QA＝QB的情形．

2．第（3）题的正方形不可能AC为边，只存在AC为对角线的情形．

满分解答

图2 图3 图4

考点伸展

如果把第（3）题中的正方形改为平行四边形，那么符合条件的点M 有几个？ ①如果AC 为对角线，上面的正方形AMCN 是符合条件的，M (2,－1)．

②如图5，如果AC 为边，那么MN //AC ，MN ＝AC ＝2．所以点M 的横坐标为4或0． 此时点M 的坐标为(4, 3)或(0, 3)．

第（2）题如果没有限制等腰三角形ABQ 的底边，那么符合条件的点Q 有几个？ ①如图2，当QA ＝QB 时，Q (2, 2)．

②如图6，当BQ ＝BA ＝10时，以B 为圆心，BA 为半径的圆与直线x ＝2有两个交点． 根据BQ 2＝10，列方程22＋(m －3)2＝10，得36m =±．

此时Q (2,36)+或(2,36)-．

③如图7，当AQ＝AB时，以A为圆心，AB为半径的圆与直线x＝2有两个交点，但是点(2,－3)与A、B 三点共线，所以Q(2, 3)．http://www.77cn.com.cn

图5 图6 图7

例2如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？

（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．

图1

思路点拨

1．把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形，高的和等于AD．

2．用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来．

3．构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形，再用邻边相等列方程验证菱形是否存在．

满分解答

考点伸展

第（3）题的解题思路是这样的：

因为FE //QC ，FE ＝QC ，所以四边形FECQ 是平行四边形．再构造点F 关于PE 轴对称的点H ′，那么四边形EH ′CQ 也是平行四边形．

再根据FQ ＝CQ 列关于t 的方程，检验四边形FECQ 是否为菱形，根据EQ ＝CQ 列关于t 的方程，检验四边形EH ′CQ 是否为菱形．

1(1,4)2E t t +-，1(1,4)2

F t +，(3,)Q t ，(3,0)C ． 如图2，当FQ ＝CQ 时，FQ 2＝CQ 2，因此2221(2)(4)2

t t t -+-=． 整理，得240800t t -+=．解得12085t =-，22085t =+（舍去）．

如图3，当EQ ＝CQ 时，EQ 2＝CQ 2，因此2221( …… 此处隐藏：5476字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……