2007年考研数学(三)真题解析(7)

类）第一篇【例5.29】.

18…….【分析】由于积分区域关于x,y轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.

【详解】因为被积函数关于x,y均为偶函数，且积分区域关于x,y轴均对称，所以

f(x,y)d f(x,y)d ，其中D为D在第一象限内的部分.

1

D

D1

而

D1

f(x,y)d

x y 1,x 0,y 0

x2d

1 x y 2,x 0,y

dx

1x

1 2 x22 xxdy dx y dx

y

10 01 x

2

所以

1

1 . 12

D

1

f(x,y)d 1 .

3

22

【评注】被积函数包含x y时, 可考虑用极坐标，解答如下：

1 x y 2x 0,y 0

f(x,y)d

1 x y x 0,y 0

2sin cos

1sin cos

2d

dr

.

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.3－例7.4】.

19…….【分析】由所证结论f ( ) g ( )可联想到构造辅助函数F(x) f(x) g(x)，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.

【详解】令F(x) f(x) g(x)，则F(x)在 a,b 上连续，在(a,b)内具有二阶导数且

F(a) F(b) 0.

（1）若f(x),g(x)在(a,b)内同一点c取得最大值，则f(c) g(c) F(c) 0， 于是由罗尔定理可得，存在 1 (a,c), 2 (c,b)，使得

F ( 1) F ( 2) 0.