1-2 自然坐标系下的一般曲线运动描述

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1-2 一 自然坐标系

自然坐标系下的一般曲线运动

质点作曲线运动， 质点作曲线运动，将质点运动的轨迹曲线作为一维坐标的 轴线——自然坐标。 自然坐标。 轴线 自然坐标

ps<0O

s>0

r τ

r n

r nr τ

r r (1)坐标系单位矢 坐标系单位矢： (1)坐标系单位矢 τ , n

r τ

方向通常指向运动方向， 方向通常指向运动方向，

r n

方向指向曲线凹侧

(2)位置、速度表示法 位置、 位置

s = s( t )

点起， 点的弧长为s——弧坐标 从O点起，p点的弧长为 点起 弧坐标

r r ds r υ = υτ = τ dt

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自然坐标系下的一般曲线运动r v

3)切向加速度和法向加速度 )

P1ρ△θ

△θ

r v

P2r r v + v

Ar r v + v

r vnr vττ

Br v

C

r r v v BC vn + vτ v = lim a = lim = lim t → 0 t t → 0 t t → 0 t r r v n vτ = lim + lim t → 0 t t → 0 t

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1-2 a、切向加速度 、

自然坐标系下的一般曲线运动

t → 0 ;

r r vτ = vτ

r r 2 r v τ v τ dv r d s v aτ = lim = τ= 2 τ = lim t → 0 t t → 0 t dt dtb、法向加速度 、

r r t → 0 ; vn = v θ n r r v n v θ r dθ r an = lim = lim n = v n t → 0 t t dt

v dv n v an = dt

dθ v dθ ds v 2 dθ v =v n =v n =v n dt ds dt ds

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自然坐标系下的一般曲线运动

r r r r r a = aτ + an = aττ0 + ann0

v dv n v dθ v v2 v an = = v2 n = n dt ds ρ切向加速度

ds ρ= dθ

v v aτ = aττ0

法向加速度

切向加速度、反映速度大小变化， 切向加速度、反映速度大小变化， 一般不为常量； 一般不为常量； 法向加速度、反映速度方向变化， 法向加速度、反映速度方向变化，2

v v an = ann0

v v r dv v v v a = aτ + an = τ0 + n0 dt ρ

v aτ anβ v

v a

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自然坐标系下的一般曲线运动

2 v 2 2 2 2 a = a = (aτ ) + (an ) = (dv dt ) + v ρ

(

)

※ 将a向不同的坐标轴中投影

aτ tgβ = an

加速度总是指向曲线的凹侧

y

r a

ay

r aan

at

axx

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自然坐标系下的一般曲线运动

例2:某质点在xOy平面内运动，运动方程 ： 平面内运动， x=2t(m),y=t2(m)。求(1)第一秒末的加速度、 第一秒末的加速度、 。 切向加速度、法向加速度及质点的轨道半径； 切向加速度、法向加速度及质点的轨道半径； (2)质点在第一秒到第三秒之间走过的路 程。

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自然坐标系下的一般曲线运动

以速度v 平抛一小球，不计空气阻力， 时刻小球的切 例 以速度 0 平抛一小球，不计空气阻力，求t时刻小球的切 向加速度量值a 法向加速度量值a 和轨道的曲率半径ρ. 向加速度量值 τ、法向加速度量值 n和轨道的曲率半径 解：由图可知

νy aτ = g sin θ = g ν=g gt

ν 0 + g 2t 22

=

g 2t

ν 02 + g 2t 2

gν 0 νx an = g cos θ = g = ν ν 02 + g 2t 2

v ρ= = an

2

2 2 vx + v y

an

(ν + g t ) = gv02 0

2 2 3/ 2

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自然坐标系下的一般曲线运动

二 描述刚体转动的角参量 角坐标 θ (t ) 角位移 θ

y

B

θ θ dθ o x = 角速度 ω = lim t → 0 t dt dω 角加速度 α = dt s θ r lim = 速率 v = lim v (t ) = r ω (t ) t → 0 t t → 0 t v ds v v v et = vet = rωet 8 速度 v = dt

r

θ

v e tA

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自然坐标系下的一般曲线运动

三 线量和角量的关系

ds = R d θ ds dθ v= =R = Rω dt dt 2 v 2 an = = Rω R dv dω at = =R = Rα dt dt

yB ds dθ A R

o

θ

x

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自然坐标系下的一般曲线运动

四 匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动1 匀速率圆周运动： 匀速率圆周运动：

at = 0

v v v a = anen = rω2en

θ = θ 0 + ωt2 匀变速率圆周运动

dω α= =常量 dtdω = α dt

∫

ω

ω0

dω =

∫

t

0

α dt10

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自然坐标系下的一般曲线运动

如 t = 0 时, θ = θ 0 , ω = ω 0

ω = ω 0 +αt 1 2 θ = θ 0 + ω 0t + α t2 ω = ω + 2α (θ θ 0 )2 2 0

与匀变速率直线运动类比

1 2 s = s0 + v 0 t + at 2 2 2 v = v0 + 2a(s s0 )11

v = v 0 + at

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自然坐标系下的一般曲线运动

例题1 例题12

一质点沿半径为R 一质点沿半径为 的圆周按规律

运动， 都是正的常量。 都是正的常量 s = v0t bt / 2 运动，v0、b都是正的常量。 :(1) 时刻质点的总加速度的大小； 求：( ) t 时刻质点的总加速度的大小； (2) t 为何值时，总加速度的大小为 ； ) 为何值时，总加速度的大小为b (3)当总加速度大小为 时，质点沿圆周运 )当总加速度大小为b 行了多少圈。 行了多少圈。 先作图如右， 解：先作图如右，t = 0 时， 质点位于s 点处。 质点位于 = 0 的p点处。 点处 时刻， 在t 时刻，质点运动到位 置 s 处。 s

oR

P

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1-2 自然坐标系下的一般曲线运动 ) 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小: (1)t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小

dv d2s a = = τ b 2 = dt dt 2 2 a = v = ( v0 bt ) n

R2 n

R

( v0 bt ) + (bR) a = …… 此处隐藏：1490字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……