湖北省部分重点中学2013届高三第二次联考理科数学试题

湖北名校2013届高三最新数学试卷集

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湖北省部分重点中学2013届高三第二次联考数学理科答案

一、DBCBA BBDCD

830

二、 11．－ 12．13．720 14．x 2y 3 0 15． 7（3分） 2n 1（2分）

96三、16．∵数列{an}为等差数列，∴a1+a3=2a2=0,代入得：f(x+1)+f(x-1)=0,解得x=1或3．

∴a1,a2,a3依次为-2，0，2或2,0,-2．∴an=2n-4或an=-2n+4． 又{log3bn}为等差数列，且{log3bn}的前10项和为45， ∴{bn}为等比数列且log3b5+log3b6=9，即b5b6=39． 而b5=81，∴b6=3，公比q=3，故bn=b5·3=3．综上：an=2n-4或an=-2n+4 , bn=3．

(2)由（1）结合条件知an=2n-4, 当n=1时，|a1+b1|=1． 当n>=2时，|an+bn|=an+bn，

此时，Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+（an+bn)-2(a1+b1)=n-3n+

2

n-1

5

n-5

n-1

3 12

n

+2=n-3n+

2

3 32

n

．

1(n 1) n

3 3(n∈N*)． 2综上：S n n 3n 23 3n

2n 3n (n 2)

2

17． (1)f(x)= ∵点(π

12

11π1 sinωx- cosωx+m+=sin(ωx-)+m+ 22262

πππ

，1)是f(x)图象的对称中心，且与其相邻的一条对称轴为x= ，∴f(x)的周期 1233

π

12

12

π6

- )×4=π，∴ω=2. 将点 ,1)坐标代入f(x)的解析式得m ，∴f(x)=sin(2x- )+1.

π

将f(x) =sin(2x-)+1的图象横坐标缩短为原来的一半，得到图象的函数解析式为y=sin(4x-

6ππ )+1)；再将其图象纵坐标扩大到原来的2倍得到图象的函数解析式为g(x)=2sin(4x- )+1. 66（2

）由余弦定理，cosA

3ac

ca

b c a

2bc

222

4a c a

4ac

222

13ac1(

4ca42

当且仅当

时取等号，即c 时等号成立.

π6

因为A为三角形的内角，所以0 A ∴

π6

A2

.

π6

2A

π6

π6

，所以 1 2sin(2A 1，所以0 2sin(2A ) 1 2

6

π

故g()的取值范围为(0,2].

18．解法一：(1)连结OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.

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又PO⊥底面⊙O，AC 底面⊙O，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD，而AC 平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.

(2)假设存在这样的C点，设 OAC ．在平面POD中，过O作OH⊥PD于H， 由(1)知，平面POD⊥平面PAC，所以OH⊥平面PAC. 又PA 面PAC，所以PA⊥OH．

在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连结HG，则有PA⊥平面OGH． 从而PA⊥HG，故∠OGH为二面角B－PA－C的平面角． 在Rt△ODA中，OD＝OA·sin ＝sin .

×sin PO·OD

在Rt△POD中，OH．

222＋

OD＋sin

×1PO·

OA在Rt△POA中，OG＝223

＋OA＋1

OH

在Rt△OHG中，sin∠OGH＝OG

2

＝

， 5

所以cos∠OGH＝－sin∠OGH解得sin

2

12

，即sin

2

，∴ 450，即C为 AB的中点．

5

故当C为 AB的中点时，二面角B－PA－C的余弦值为

解法二：(1)同解法一 (1) ．

(2)如图所示，以O

为坐标原点，OB， OP所在直线分别为x轴， z轴，过 O与AB垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系．

则O(0,0,0)，A(－1,0,0)

，B(1,0,0)，C(cosα, sinα,0)，P(0,0，D.

→→

设m＝(x，y，z)是平面PAC的一个法向量，则由

m·AC＝0，m·AP＝0，得

x ytan x(cos 1) ysin 0 2

即

x 0 z

取x sin

2

，得m＝ sin

2

,cos

2

,

．

2

因为y轴⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为n＝(0,1,0)． n·m

设向量n2和n3的夹角为θ，则cosθ＝|n|·|m|

cos

，

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又二面角B－PA－C

cos

＝

5

解得tan

2

1，∴

2

45，即 90，即C为 AB的中点．

故当C为 AB的中点时，二面角B－PA－C的余弦值为111600

1320

a320

∴E 100

9901000

900 a

14851625a8

．

∴该集团公司收益的期望为 1000E

185625

2

，

由题意

185625

2

25a8

61875，解得a≤9900．

故特等奖奖金最高可设置成9900元．

20． (1)连结QN，则|QN|=|PQ|．当a>1时，则点N在圆内，此时|QN|+|QM|=|PQ|+|QM|=|PM|=2a，且2a >|MN|,

故Q的轨迹为以M,N为焦点的椭圆，此时曲线C的方程为

xa

22

y

2

2

a 1

1．

当a<1时，则点N在圆外，此时||QN|-|QM||=||PQ|-|QM||=|PM|=2a，且2a <|MN|, 故Q的轨迹为以M,N为焦点的双曲线，此时曲线C的方程为

xa

22

y

22

1 a

1 ．

(2)由（1）知，此时曲线C为椭圆，其方程为

xa

22

y

2

2

a 1

1．

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设直线l的方程为：x=my+1(m≠0)，A(x1,y1),B(x2,y2),则E(x2,-y2).

2

x2y

1

联立得 a2b2,消去x得方程： [(a2-1)m2+ a2]y2+2m(a2-1)y-a2(a2-1)=0 (*)

x my 4

则y1+y2=-

2m(a-1)(a-1)m+ a

2

2

2

2,y1y2222 ①

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