【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题八

思想方法概述

专题八 第4讲

第4讲

转化与化归思想

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转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采 用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种 方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题， 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的 问题通过变换转化为已解决的问题.

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转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题 的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新 知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同 数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化本 讲 栏 目 开 关

等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思 想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 1.转化与化归的原则 (1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于 我们运用熟悉的知识、经验来解决. (2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单 问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题 的启示和依据.

思想方法概述解决.

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(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来 (4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问 题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解.本 2.常见的转化与化归的方法 讲 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受 栏 目 阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就 开 关

是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问 题的有效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方 法有： (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式 或基本图形问题.

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(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂 等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基 本问题.本 讲 栏 目 开 关

(3)数形结合法：研究原问题中数量关系 (解析式 )与空间形式 (图形)关系，通过互相变换获得转化途径. (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题， 达到化归的目的. (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明 特殊化后的问题、结论适合原问题. (6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于 解决的问题.

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(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转 化方法的一个重要途径. (8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定.本 讲 栏

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(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解 决. (10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结 果看做集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全 集U,通过解决全集U及补集 UA获得原问题的解决，体现了 正难则反的原则.

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3.转化与化归的指导思想本 讲 栏 目 开 关

(1)把什么问题进行转化，即化归对象. (2)化归到何处去，即化归目标. (3)如何进行化归，即化归方法. 化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.

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类型一 例1本 讲 栏 目 开 关

特殊与一般的转化

(1)过抛物线 y=ax2 (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 1 1 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q,则p+q= ________. 1 2 ax (2)已知函数 f(x)= x (a>0 且 a≠1),则 f 100 +f 100 a+ a 99 + +f 100 的值为________.

热点分类突破解析 1 (1)由 x =ay (a>0)知抛物线开口向上，2

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故过焦点 F 作一在特殊位置的直线即平行于 x 轴的直线交抛物 线于 P、Q,本 讲 栏 目 开 关

1 1 1 则 PF=FQ= ,即 + =4a. 2a p q (2)由于直接求解较困难，可探求一般规律， a ax ax a ∵f(x)+f(1-x)= x + - = + a + a a1 x+ a ax+ a a+ax a a+ax ax a = x + =1, x= x a+ a a+a a + a1-x

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1 2 99 ∴f 100 +f 100 + +f 100 1 99 2 98 49 51 50 本 f 100 +f 100 + f 100 +f 100 + + f 100 +f 100 +f 100 讲 = 栏 目 开 1 99 关

=1×49+2= 2 .答案 (1)4a

99 (2) 2

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一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简本 讲 栏 目 开 关

单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问 题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果.

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(1)在△ABC 中， 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 cos A+cos C c,若 a、b、c 成等差数列，则 =________. 1+cos Acos C本 讲 栏 目 开 关

(2)已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数， 且 5 对任意实数 x 都有 xf(x+1)=(1+x)f(x),则 f 2 =________.

解析 (1)根据题意，所求数值是一个定值， 故可利用满足条件的直角三角形进行计算. 令 a=3,b=4,c=5,则△ABC 为直角三角形， 4 且 cos A=5,cos C=0,

热点分类突破4 +0 cos A+cos C 5 4 代入所求式子，

得 = = . 4 5 1+cos Acos C 1+ ×0 5 (2)因为 xf(x+1)=(1+x)f(x),本 讲 栏 目 开 关

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f x+1 1+x 所以 = x , f x 使 f(x)特殊化，可设 …… 此处隐藏：1283字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……