2010届高考数学第一轮复习——第三单元 基本初等函数(Ⅰ)

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☆2010届高考数学第一轮复习★

数学理科

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基本初等函数( 第三单元 基本初等函数(Ⅰ)一次函数、 第一节 一次函数、二次函数1.一次函数的性质与图象 (1)函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数，它的定义域为R,值域为R。 (2) 一次函数具有如下一些主要性质 ①函数值的改变量(y2-y1)与自变量的改变量(x2-x1)的比值等于 常 数k; ②当k>0时 ,一次函数是增函数；k<0时，一次函数是减函数； ③当b=0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b ≠0 时，它即 不是奇函数，也不是偶函数；( 0) ④直线y=kx+b与 x轴的交点为 - , ,与y轴的交点为(0,b). b k

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2.二次函数的性质与图象

(1)函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R (2)二次函数有如下性质： b 4ac b 2 ①函数的图象是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是 - 2a , 4a ,抛物线的

对称轴是 x = b - ∞ ,2a

②当a>0时，抛物线开口向上，函数在 x = 区间是减函数，在 ③当a<0,抛物线开口向下，函数在x = 间 - ∞ , b 2a

b 2a

;b - 2a ,+∞ 上是增函数；

b b 处取最小值 f - 2a 2a

;在

上是增函数，在

b ,+∞ 上是减函数； 2a

b b 处取最大值 f - ;在区 2a 2a

④与y轴的交点是(0,c); ⑤当△=b2-4ac>0时，与x轴两交点的横坐标x1,x2分别是方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根；当△ =0时，与x 轴切于一点 时，与轴没有交点。 ⑥当b ≠ 0时，是非奇非偶函数，当b=0时，是偶函数； ⑦对于函数f(x),若对任意自变量x的值，都有f(a+x)=f(a-x),则f(x) 的图象关于直线x=a对称。b ,0 ;当△ 2a

<0

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3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系 判别式 △=b2-4ac二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象y x1 0 x2 x 0 X =x 1 2 x 0 x

△>0

△=0y

△<0y

一元二次方程y=ax2+bx+c(a>0)

的根

有两相异实根 x1x2(x1<x2)

有两相等实根 b x1=x2= - 2a

没有实数根

ax2+bx+c>0(a>0) {x|x<x1或x>x2} 的解集 ax2+bx+c<0(a>0) 的解集 {x|x1<x<x2}

{x|x≠x1}

{x|x∈R}

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4.二次函数在闭区间上的最值问题

y = f ( x ) = a ( x h ) 2 + k ( a > 0 )在[ m , n ]上的最值问题 ， (1) h ∈ [ m , n ]时 ， y min = k, y max = { f ( m ), f ( n )}. ( 2 ) h ∈ [ m , n ]时 ， 当 h < m 时 ，f ( x )在[ m , n ]上单调递增 ， y min = f ( m ), y max = f ( n ). 当 h > m 时 ，f ( x )在[ m , n ]上单调递减 ， y min = f ( n ), y max = f ( m ).

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题型一

一次函数性质的应用

【例1】一次函数y=(m+2)x+2m-1是增函数，且它的图象与y轴的交点 在x轴的下方，则m的取值范围是_______. 分析 y=kx+b(k ≠ 0),当k>0时为增函数，

其图象与y轴交点为(0,b).解： y = (m + 2) x + 2m 1是增函数. Q ∴ m + 2 > 0 . 1 由①②解得 - 2 < m < . 2

① Q 又函数y = (m + 2) x + 2m 1的图象与y轴的交点在x轴下方， 2m 1 < 0 ② ∴

学后反思

函数y=kx+b(k≠0)解析式中参数k与函数是单调性有关，k>0时，

函数图象是上升的；k<0时，函数图象是下降的.b反映了函数图象与y轴交 点的位置，b>0时，交于x轴上方；b=0时，交于原点；b<0时，交于x轴下方， B又叫做直线y=kx+b在y轴上的截距。

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举一反三 1.已知函数y=(2m-1)x+1-3m,m为何值时， (1)这个函数为一次函数？ (2)函数值y随x的增大而减小？ (3)这个函数图象与直线y=x+1的交点在x轴上？ 解析(1)当 m ≠ 1 时，这个函数为一次函数.2

(2)根据一次函数的性质，可知当2m-1<0,即 m < 的增大而减小。

1 时，y随x 2

(3)∵直线y=x+1与x轴交于点心(-1,0)∴代入y=(2m-1)x+1-3m中， 得1-2m+1-3m=0.∴m= 2 5

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题型二

二次函数图象和性质的应用

【例2】已知二次函数f(x)满足f(2 ) =-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8, 试确定此二次函数. 分析：由题目条件知二次函数过(2,-1),(-1,-1)两点，且知 其最大值，所以可应用一般式，顶点式或两根式解题. 方法一：利用二次函数一般式，

设 f ( x ) = ax

2

+ bx + c ( a = 0 ). a = 4, b = 4, c = 7. + 7.

4 a + 2 b + c = 1, 由题意得 : a b + c = 1 , 解得 4 ac b 2 = 8, 4a ∴ 所求二次函数为 y = 4 x2 + 4 x

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方法二：利用二次函数顶点式，设f(x) = a(x m)2 + n(a ≠ 0). Q f(2) = f( 1), 2 +( 1) 1 1 = , m= . ∴ 2 2 2 又根据题意函数有最大 值y = 8. 1 ∴ y = f(x) = a(x )2 + 8. 2 1 Q f(2) = 1, a(2 )2 + 8 = 1,解得a = 4. ∴ 2 1 ∴ f(x) = 4(x )2 + 8 = 4x 2 + 4x + 7. 2 ∴ 抛物线的对称轴为x =

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方法三:利用两根式.由已知f(x)+ 1 = 0的两根为x1 = 2,x2 = 1, 故可设f(x)+ 1 = a(x 2)(x + 1)(a ≠ 0), 即f(x) = ax2 ax 2a 1. 4a( 2a 1) a 2 又函数有最大值y max = 8, 即 = 8, 4a 解得a = 4,或a = 0(舍) ∴ 所求函数解析式为f(x) = 4x2 + 4x + 7.

学后反思 求二次函数的解析式的关键是待定系数，由题目的条件， 合理地选择二次函数解析式的表达形式，最简地求出解析式是关键

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举一反三 2.已知二次函数f(x)同时满足条件： (1)f(1+x)=f(1-x); (2)f(x)的最大值为15; (3)f(x)=0两根的立方和等于17. 求f(x)的解析式.解析:依条件，设f(x) a(x 1)2 + 15(a < 0) …… 此处隐藏：2453字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……