【世纪金榜】2016届高三文科数学总复习课件：2.3函数的奇偶性与周期性

第三节 函数的奇偶性与周期性

【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填

(1)函数的奇偶性: 奇偶性 定义 图象特点 y轴 关于____ 对称 原点 关于_____ 对称

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 偶函数 f(-x)=f(x) 那么函数f(x)是偶函数 有___________, 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都 奇函数 f(-x)=-f(x) 那么函数f(x)是奇函数 有____________,

(2)周期性:

①周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定f(x+T)=f(x) 那么就称函数y=f(x)为周期 义域内的任何值时,都有____________, 函数,称T为这个函数的周期. 最小 的 ②最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____ 正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

2.必备结论

教材提炼

记一记

(1)函数奇偶性常用结论:①如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|). ②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称 的区间上具有相反的单调性. ③在公共定义内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇 ×偶=奇.

(2)函数周期性常用结论:

对f(x)定义域内任一自变量的值x:①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0); ②若f(x+a)=1 ,则T=2a(a>0); f x f x

③若f(x+a)= 1 ,则T=2a(a>0).

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:判断函数奇偶性的方法,应用函数奇偶性、周期性的方

法.(2)数学思想:数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.

【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判

(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称的.( )

(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.(

))

(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.(

(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.( )

【解析】(1)正确.根据函数奇偶性的定义,f(x),f(-x)必须同时有意

义,故具备奇偶性的函数首先其定义域关于坐标原点对称 ,但定义域关于坐标原点对称的函数未必具有奇偶性 . (2)错误.若函数f(x)在点x=0处没有定义,如f(x)= 1 ,则f(0)不存在.x

(3)正确.函数y=f(x+a)关于直线x=0对称,则函数y=f(x)关于直线x=a 对称. (4)正确.函数y=f(x+b)关于点(0,0)中心对称,则函数y=f(x)关于点 (b,0)中心对称. 答案:(1)√ (2)〓 (3)√ (4)√

2.教材改编

链接教材

练一练

(1)(必修1P39B组T3改编)若f(x)是偶函数且在(0,+∞)上为增函数, 则函数f(x)在(-∞,0)上为 .

【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(x)关于y轴对称,又因为f(x)在 (0,+≦)上为增函数,结合图象可知,函数f(x)在(-≦,0)上为减函数. 答案:减函数

(2)(必修1P39A组T6改编)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是 【解析】如图所示, .

由f(x)为奇函数知:f(x)>0的x的取值范围为(-1,0)∪(1,+≦). 答案:(-1,0)∪(1,+≦)

(3)(必修1P39A组T6改编)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时, f(x)=2x(1-x),则 f( 5 ) =2

.

【解析】依题意,得 f( 5 ) f ( 5 ) f ( 5 2)2 1 1 1 1 f( ) 2 (1 ) . 2 2 2 2 2 2 2

答案: 1

3.真题小试

感悟考题

试一试

(1)(2014·湖南高考)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0) 上单调递增的是( A.f(x)= 12x

) B.f(x)=x2+1 D.f(x)=2-x

C.f(x)=x3

【解析】选A. 选项 A 具体分析 结论 正确

幂函数f(x)=x-2是偶函数,且在区间(-≦,0)上是增 函数二次函数f(x)=x2+1是偶函数,且在区间(-≦,0)是 减函数 幂函数f(x)=x3是奇函数,且在区间(-≦,0)上是增 函数 指数函数f(x)=2-x= ( ) x是非奇非偶函数,且在区间 2 (-≦,0)上是减函数1

BC D

错误错误 错误

(2)(2015·石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意 x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2),则f(2014)等于( A.0 B.3 C.4 D.6 )