新人教A版必修4高中数学简单的三角恒等变换学案

高中数学 简单的三角恒等变换学案

新人教A版必修4

【学习目标】

1.会利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换

2.能根据问题的条件进行公式变形，体会在变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法

3.加深理解变换思想，提高学生的推理能力 【重点难点】

学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．

认识三角变换的特点，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 【学习内容】

一、 复习（用提问的方式复习前面学过的公式） 1、两角和与差的余弦、正弦、正切公式：

cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin

tan( )

tan tan

1 tan tan tan tan

1 tan tan

tan( )

2、二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2

cos2 2cos2 1 cos2 1 2sin2 tan2

2tan

2

1 tan

二、新授 例1 求证：

sin sin （１）、sin cos ； 2

1

（２）、sin sin 2sin

2

cos

2

．

小结：证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在书后的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．

例2 设α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，

3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=。

2

例３

求函数y sinxx的周期，最大值和最小值．

小结：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数y Asin x 的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．

例4 已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形上的动点，ABCD是扇形的内接矩形。记 COP ，求角 取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积。

分析：同例3一样是个通过恒等变形得函数性质的问题，不过多了要求学生自己求出函数表达式，为了让学生感受建立函数模型的过程，

3

可以采取引导的方式让学生自己建立函数模型。

在求当α取何值时,矩形ABCD的面积S最大 ,可分二步进行: (1)找出S与α之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S的最大值.

小结：建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题 【课堂小结与反思】

对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用

思考：代数式变换与三角变换有什么不同？

代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首 先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特 点．

【课后作业与练习】

α＋3β＋α－3

β

1．( ) 1－α＋3βα－3

β

A．tan α B．tan 2α C．tan 3α D．tan 6β

2．已知△ABC的三个内角满足：sin A＝sin C cos B，则△ABC的形状为( )

A．正三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3－sin 70°3．＝( )

2－cos210°

123A. C．2 D

222cos 40°＋3

4

．

sin 70°1＋cos 40°5.把一段半径为R的圆木料，怎样锯法能使横截面

6.已知半径为1的半圆，PQRS是半圆的内接矩形如图，问P点在什么位置时，矩形的面积最大，并求最大面积时的值．

锯成横截面为矩形的木的面积最大？