高中数学必修4(北师版)第二章2.2(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题

高中数学必修4(北师版)第二章2.2 从位移的合成到向量的加法(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

高中数学必修4(北师版)知识点总结含同步练习题及答案

第二章 平面向量 2.2 从位移的合成到向量的加法

一、知识清单

平面向量的加减法

二、知识讲解

1.平面向量的加减法

描述： 向量的加法运算

向量加法的三角形法则

已知非零向量 a、b，在平面内任取一点 A，作 AB=a，BC=b，则向量 AC 叫做 →→ →→ →→ →

→ → →→→→→→→ a与b 的和（或和向量），记作 a+b，即 a+b=AB+BC=AC．求两个向量和的运算，叫做

向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．向量加法的平行四边形法则

以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作平行四边形 OACB，则以 O 为起点的对角线 OC 就是 a 与

b 的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．→→→→

对于零向量和任一向量 a，我们规定 a+0=0+a=a．　

向量加法的运算律

交换律：a+b=b+a．

向量减法运算 →→→→→→→→→→→→→→→→结合律：(a+b)+c=a+(b

+c)．

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→→ →→→→ 已知向量 a，b（如图），作 OA=a，作 OB=b，则

→ →→b+BA=a,①

→ →→→→向量 BA 叫做向量 a 与 b 的差，并记作 a b，即

→→→ → →BA=a b=OA OB.

→②如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点

→ →OA 减去它的始点相对于点 O 的位置向量 OB 或简记“终点向量减去始点向量”．→→→与 a 方向相反且等长的向量叫做 a 的相反向量，记作 a，任一向量与其相反向量的和是→→→零向量，即 a+( a)=0，零向量的相反向量仍为零 向量．→→→→→→→→向量 a 加上 b 的相反向量，叫作 a 与 b 的差，即 a b=a+( b)．求两个向量 →→ → →→ →差的运算，叫作向量的减法．作 OA=a，OB=b，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 → →→，连接 ．观察图形，不难看出，向量 表示向量 与 OACBBA b 的和，也就是向量BAa→→a b．为终点的向量．由 ② 式还可以推知，一个向量 BA 等于它的终点相对于点 O 的位置向量

例题：化简下列各式： → → → → → → →（2）(AB+MB)+BO+OM． → → → → → → → → →解：（1）PB+OP+OB=(OP+PB)+OB=OB+OB=2OB； → → → → → → → → → → → （2）(AB+MB)+BO+OM=(AB+BO)+(OM+MB)=AO+OB=AB．（1）PB+OP+OB；

已知下列各式：①AB+BC+CA；②(AB+CB)+BO+OC；③OA+OC+BO+CO； → → → → → → → → → → →→ → → → → ④AB+CA+BD

+DC．其中结果为 0 的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

解：B→

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→ → → → →→利用向量加法运算律，① AB+BC+CA=AC+CA=0；② → → → → → → → → → → (AB+CB)+BO+OC=AB；③OA+OC+BO+CO=BA；④→ → → → → AB+CA+BD+DC=0．

化简 (AB CD) (AC BD)．

解： → → → →

→ → → → → → → → (AB CD) (AC BD)=AB CD AC+BD → → → → =(AB AC) DC+BD → → → =CB+BD CD→=0

给出下列运算： → → →→ → → →→ → → → → → ① AB AC+BC=0；② AB CB+CA=0；③ AB (AC BD) CE=ED； → → → → → ④ (AB CD) (AC BC)=CD．

其中所有正确的序号是______

解：①②③ → → → → →→①AB AC+BC=CB+BC=0，所以 ① 正确； → → → → → → → →→②AB CB+CA=CA+AB CB=CB CB=0，所以 ② 正确；

③

→ → → → → → → → ( ) = + ABACBDCEABACBDCE → → → =CB+BD CE → →=CD CE → =ED,

所以 ③ 正确；

④

→ → → → → → → → (AB CD) (AC BC)=(AB+BC) (AC+CD) → → =AC AD → →

=DC≠CD,

所以 ④ 不正确．

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