随机变量及其分布习题

习题课第二、 第二、三章 随机变量及其概率分布

内 容 离散型随机变量 随机变量的分布函数 连续型随机变量 一维随机变量函数的分布 二维随机变量的联合分布 多维随机变量的边缘分布与独立性 多维随机变量函数的分布

关于随机变量(及向量)的研究， 关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内 这是因为，对于一个随机试验， 容.这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的 往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量， 往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量， 而这些量就是随机变量.也可以说： 而这些量就是随机变量.也可以说：随机事件是从 静态的观点来研究随机现象， 静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种 动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分 动态的观点， 那样. 那样.变量概念是高等数学有别于初等数学的基础 概念.同样， 概念.同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念 发展为一个更高的理论体系， 发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变 量

一、随机变量的概念定义. S={e}是试验的样本空间 是试验的样本空间， 定义. 设S={e}是试验的样本空间，如 果量X是定义在S 果量X是定义在S上的一个单值实值函数 即对于每一个e 有一实数X=X(e) X=X(e)与 即对于每一个e∈S,有一实数X=X(e)与 之对应，则称X 随机变量。 之对应，则称X为随机变量。 随机变量常用 常用X 随机变量常用X、Y、Z 或 ξ、η、ζ等表 示。

随机变量的特点: 随机变量的特点1. X的全部可能取值是互斥且完备的 2 . X的部分可能取值描述随机事件

随机变量的分类： 离散型随机变量 离散型随机变量 随机变量 连续型随机变量

离散型随机变量 若随机变量X取值 取值x 定义 若随机变量 取值 1, x2, …, xn, … 且 取这些值的概率依次为p 则称X 取这些值的概率依次为 1, p2, …, pn, …, 则称 为离散型随机变量， 为离散型随机变量，而称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) X的分布律或概率分布 或概率分布。 为X的分布律或概率分布。可表为 X~ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ), ~ , 或…X X~ Pk p1 p2 … pk … x1 x2 … xK …

2. 分布律的性质 (1) pk ≥ 0, k=1, 2, … ; (2)

∑ p =1 .k ≥1 k

·几个常用的离散型分布 几个常用的离散型分布 (一)贝努里(Bernoulli)概型与二项分布 1. (0-1)分布 分布 若以X表示进行一次试验事件 发生的次数 若以 表示进行一次试验事件A发生的次数，则称 表示进行一次试验事件 发生的次数， X服从 -1)分布 两点分布 服从(0- 分布 两点分布) 分布(两点分布 服从 X~P{X=k}=pk(1-p)1-k, (0<p<1) k=0,1

~ = = - - = , 或X1

0

pk

p

1 p

2.定义 设将试验独立重复进行n次，每次试验中， 定义 每次试验中， 事件A发生的概率均为p,则称这n次试验为n重贝 努里试验. 努里试验. 若以X表示n 贝努里试验事件A发生的次数， 若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数， 则称X服从参数为n,p的二项分布。 n,p的二项分布 则称X服从参数为n,p的二项分布。 记作X~B X~B( 记作X~B(n, p) 其分布律为： 其分布律为：

P{X = k} = Cn p (1 p) , (k = 0,1,...,n)k k

n k

泊松(Poisson)分布 λ) 分布P(λ (二. ) 泊松 分布k

λ λ , k=0, 1, 2, … X~P{X=k}= ~ = = = e k! (λ> λ>0) λ>

泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 定理表明 很大， 很小时 很小时， 当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 很大 看成是参数λ=np的泊松分布 看成是参数λ 的

二、随机变量的分布函数定义 设X是随机变量，对任意实数 ，事件 是随机变量，对任意实数x, {X≤x}的概率 的概率P{X≤x}称为随机变量 的分布函数。 称为随机变量X的分布函数。 ≤ 的概率 ≤ 称为随机变量 记为F(x),即 记为 ， F(x)= F(x)=P {X≤x}. ≤ 易知，对任意实数a, 易知，对任意实数 b (a<b), P {a<X≤b}=P{X≤b}-P{X≤a}= F(b)-F(a). ≤ = ≤ - ≤ = -

X

x

1、单调不减性：若x1<x2, 则F(x1)≤F(x2); 单调不减性： 单调不减性 ≤ 2、归一 性：对任意实数 ，0≤F(x)≤1,且 、 对任意实数x, ≤ ≤ ,

F ( ∞ ) = lim F ( x ) = 0 , F ( +∞ ) = lim F ( x ) = 1;x → ∞ x → +∞

3、右连续性：对任意实数 ， 右连续性：对任意实数x, 右连续性F(x0 + 0) = limF(x) = F(x0 ). +x→x0

反之，具有上述三个性质的实函数， 反之，具有上述三个性质的实函数，必是 某个随机变量的分布函数。 某个随机变量的分布函数。故该三个性质是 分布函数的充分必要性质。 分布函数的充分必要性质

一般地， 一般地，对离散型随机变量 X~P{X= xk}=pk, k=1, 2, … ~ = = 其分布函数为F ( x) = P{X ≤ x} =k:xk ≤ x

∑pX P

k

设随机变量X具分布律 具分布律如右表 例1 设随机变量 具分布律如右表 试求出X的分布函数 试求出 的分布函数。 的分布函数解 F ( x )= P { X ≤ x }

0

1

2

0.1 0.6 0.3

0, x < 1 0 . 1, 0 ≤ x < 1 = 0 . 7 ,1 ≤ x < 2 1, x ≥ 2

F(x)

1

0

1

2

x

区间随机抛一质点， 例2 向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐 区间随机抛一质点 表示质点坐 假定质点落在 标.假定质点落在 假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概 区间内任一子区间内的概 率与区间长成正比， …… 此处隐藏：1105字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……