2008年全国初中数学竞赛试题及答案

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2008年全国初中数学竞赛试题及参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分，以下每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，期中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

4241、已知实数x，y满足4 2 3，y4 y2 3，则4 y4的值为（ ）。 xxx

A、7 B

、

［答］A

解：因为x2＞0，y2≥0，由已知条件得

12 1 1 12，，

y 2x442217 C

、 D、5 22

所以 422422 y 3 3 y y 6 7 ＝422xxx

2、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数y x2 mx n的图象与x轴有两个不同交点的概率是（ ）。

54171A、 B、 C、 D、 129236

［答］C

解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数，由题意知 △＝m2 4n＞0，即m2 4n

通过枚举知，满足条件的m，n有17对，故p 17 36

3、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有（ ）。

A、6条 B、8条 C、10条 D、12条

［答］B

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解：如图，大圆周上有4个不同的点 A、B、C、D，两两连线可以确定6条不

同的直线；小圆周上的两个点E、F中，至

少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与 BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，

至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线，

从而这6个点可以确定的直线不少于8条。 （第3题答案图）

当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线，

所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条。

4、已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）。

A

、 D、a B、1 C

、22

［答］B 解：如图，连接OE，OA，OB，设∠D＝a，则 ∠ECA＝120°－a＝∠EAC

11又因为∠ABO＝ ABD (60 180 2a) 120 a （第4题答案图） 22

所以 △ACE≌△ABO，于是AE＝OA＝1

5、将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）。

A、2种 B、3种 C、4种 D、5种

［答］D

解：设a1,a2,a3,a4,a5是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列，

首先，对于a1,a2,a3,a4，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾。

又如果a1（1≤i≤3）是偶数，a1 1是奇数，则a1

2是奇数，这说明一个偶

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数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数。

所以a1,a2,a3,a4,a5只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条

件：

2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1。

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6、对于实数u，v，定义一种运算“ ”为：u v＝uv＋v，若关于x的方1程x (a x) 有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围4

是 。

［答］a＞0，或a＜－1 11解：由x (a x) ，得(a 1)x2 (a 1)x 0， 44

a 1 0, 依题意有 解得，a＞0，或a＜－1 2 (a 1) (a 1) 0,

7、小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟。

［答］4。

解：设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s米。

每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则6x 6y s ①

每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则3x 3y s ②

s 4 x

即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟。

由①，②可得s 4x，所以

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8、如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是 ∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为 。 ［答］9。

解：如图，设点N是AC的中点，连接MN， C D M 则MN∥AB 又MF∥AD，

（第8题） 所以∠FMN＝∠BAD＝∠DAC＝∠MFN， 1所以FN＝MN＝AB， 2

11C 因此FC＝FN＋NC＝AB＋AC＝9。 D M 22（第8题答案图）

9、△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心l作DE∥BC，分别与AB、AC相交于点D，E，则DE的长为 。 16［答］ 3

解：如图，设△ABC的三边长为a,b,c，

内切圆l的半径为r，BC边上的高为ha，则

11aha S ABC (a b c)r， 22（第9题答案图） C 所以 ra， haa b c

因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此

ha rraa(b c) a (1 )a (1 )a hahaa b ca b cha rDE , haBC所以DE＝

故 DE＝

8 (7 9)16 。 8 7 96

10、关于x，y的方程x2 y2 208(x y)的所有正整数解为。

x 48, x 160,［答］ y 32, y 32

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解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数。

设：x …… 此处隐藏：3104字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……