线性方程组及其矩阵解法(4)

高等代数课程设计,

运用矩阵解线性方程组

3 称为方程（1）的增广矩阵

用系数矩阵和增广矩阵来表示一般线性方程组会便于对线性方程组做初等变换得到同解线性方程组。

不妨设线性方程组（1）的增广矩阵为

经过一系列初等行变化化成阶梯型矩阵

（2）

其中≠0，i=1,2…n

(1)当d r+1=0时，方程组有矛盾方程，故方程组（1）无解

(2)当d r+1≠0时,方程组（1）有解

则方程组（1）与方程组（7）同解

（3）

因为（2）中的行向量的秩≤n ，又因为C ii ≠0，所以r ≤n

当r=n 时，方程组（1）有唯一解

当r<n 时，方程组（1）有无穷多解

由此可见，任给x r+1，…，x n 一组值，都能唯一的给定的值，也就是定出方程

组（3）的一个解。一般的，由（3）我们可以把表示出来，这样一组表达式称为方程组（1）的一般解，而x r+1，…，x n 称为一组自由未知量。

因此，方程组（1）有没有解，以及有怎样的解，都可以通过观察其增广矩阵进行初等行变换化的的矩阵看出。

下面对齐次和非齐次线性方程组的解作具体讨论

5.齐次线性方程组的解

定理一：若齐次线性方程组

如果s<n 。则它必有非零解

1112112122

2212n n s s s sn a a a b a a a b A b a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭