数学数论问题解析3
找寒假家教,到
pq
1
12
13
11318
1111
1
2313181319 1 11
2
1318 24
1
1660
12
131
1131811318
111
1
1319 23659 11319
989 990989 990
1
661
660 1319660 1319
661 1318661 1318
1979 1979
M
660 661 1319659!M1319!
有1979整除
p可被1979整除
pq
1319!,从而1979整除p1319!,但1979为素数, 1979,1319! 1,得
例6 (1956,中国北京)证明n 2.
讲解 只需说明
32n
2
3
32
n
2
12
n 1对任何正整数n都是整数,并且用3除时余
12
n
n 3n 1 2
为整数,但不便说明“用3除时余2”,应说明
n
3
32
n
2
12
n
n n 1 2n 1
212
是3的倍数.作变形
n
3
32
n
2
n 1
2n 2n 2 2n 1
8
1, 3,8 1
命题得证.
证明 已知即
n
3
32
n
2
12
n 1
n n 1 2n 1
2
1, ①
数学数论问题解析3
找寒假家教,到
因为相邻2个整数n, n 1 必有偶数,所以n
3
32
n
2
12
n 1为整数.又①可变为
n
3
32
n
2
12
n 1
2n 2n 2 2n 1
8
1,
因为相邻3个整数2n, 2n 2 , 2n 1 必有3的倍数,故2n 2n 2 2n 1 能被3整除;
2n 2n 2 2n 1
8
n
又 3,8 1,所以
能被3整除;得n
n 1
3
32
n
2
12
n 1用3除时余2.
例7.设多项式f x a0x a1x
an 1x an的系数都是整数,并且有一个奇数
及一个偶数 使得f 及f 都是奇数,求证方程f x 0没有整数根.
证明 由已知有
f 1 mod2 a0 a1 a2 an 1 mod2 , ①
f 1 mod2 an 1 mod2 , ②
若方程f x 0存在整数根x0,即f x0 0. 当x0为奇数时,有
f x0 0 mod2 a0 a1 a2 an 0 mod2 ,
与①矛盾.
有x0为偶数时,有
f x0 0 mod2 an 0 mod2 ,
与②矛盾.
所以方程f x 0没有整数根.
例8 1986,IMO23 1 设d是异于2,5,13的任一整数.求证在集合 2,5,13,d 中可以找到两个不同元素a,b,使得ab 1不是完全平方数.
证明 因为2 5 1 3,2 13 1 5,5 13 1 8,所以不是完全平方数只能是
2
2
2