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阳光家教数学数论问题解析3(7)

时间:2025-07-09   来源:未知    
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数学数论问题解析3

找寒假家教,到

pq

1

12

13

11318

1111

1

2313181319 1 11

2

1318 24

1

1660

12

131

1131811318

111

1

1319 23659 11319

989 990989 990

1

661

660 1319660 1319

661 1318661 1318

1979 1979

M

660 661 1319659!M1319!

有1979整除

p可被1979整除

pq

1319!,从而1979整除p1319!,但1979为素数, 1979,1319! 1,得

例6 (1956,中国北京)证明n 2.

讲解 只需说明

32n

2

3

32

n

2

12

n 1对任何正整数n都是整数,并且用3除时余

12

n

n 3n 1 2

为整数,但不便说明“用3除时余2”,应说明

n

3

32

n

2

12

n

n n 1 2n 1

212

是3的倍数.作变形

n

3

32

n

2

n 1

2n 2n 2 2n 1

8

1, 3,8 1

命题得证.

证明 已知即

n

3

32

n

2

12

n 1

n n 1 2n 1

2

1, ①

数学数论问题解析3

找寒假家教,到

因为相邻2个整数n, n 1 必有偶数,所以n

3

32

n

2

12

n 1为整数.又①可变为

n

3

32

n

2

12

n 1

2n 2n 2 2n 1

8

1,

因为相邻3个整数2n, 2n 2 , 2n 1 必有3的倍数,故2n 2n 2 2n 1 能被3整除;

2n 2n 2 2n 1

8

n

又 3,8 1,所以

能被3整除;得n

n 1

3

32

n

2

12

n 1用3除时余2.

例7.设多项式f x a0x a1x

an 1x an的系数都是整数,并且有一个奇数

及一个偶数 使得f 及f 都是奇数,求证方程f x 0没有整数根.

证明 由已知有

f 1 mod2 a0 a1 a2 an 1 mod2 , ①

f 1 mod2 an 1 mod2 , ②

若方程f x 0存在整数根x0,即f x0 0. 当x0为奇数时,有

f x0 0 mod2 a0 a1 a2 an 0 mod2 ,

与①矛盾.

有x0为偶数时,有

f x0 0 mod2 an 0 mod2 ,

与②矛盾.

所以方程f x 0没有整数根.

例8 1986,IMO23 1 设d是异于2,5,13的任一整数.求证在集合 2,5,13,d 中可以找到两个不同元素a,b,使得ab 1不是完全平方数.

证明 因为2 5 1 3,2 13 1 5,5 13 1 8,所以不是完全平方数只能是

2

2

2

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