阳光家教数学数论问题解析3(8)

数学数论问题解析3

找寒假家教，到

2d 1,5d 1,13d 1.若结论不成立，则存在正整数x,y,z，使

2d 1 x, ①5d 1 y, ② 13d 1 z, ③

22

2

同时成立，由①知x是奇数，设x 2n 1代入①得 d 2n 2n 1

为奇数，代入②、③知y,z均为偶数.设y 2p,z 2q，代入②、③后相减，有 2d q2 p2 q p q p .

由于2d为偶数，故p,q同奇偶， q p q p 可被4整除，得d为偶数.这与上证d为奇数矛盾.

所以，在集合 2,5,13,d 中可以找到两个不同元素a,b，使得ab 1不是完全平方数.

a b

2

2

2

例9 (IMO29 6)设a,b为正整数，ab 1整除a b．证明页例2-52） 证明 令

a b

2

2

22

ab 1

是完全平方数．（第130

ab 1

2a

2

2

k．k是正整数．式中a,b是对称的，不妨设a b．

(l)若a b，则

a 1

k 2 k a k k 1．本题获证．

2

(2)若a b，由带余除法定理，可设a bs t（s 2,0 t b,s,t是整数)，则

a b

2

2

ab 1

bs 2bst t b

bs bt 1

2

2222

，

易证此式大于s 1且小于s 1(可用放缩法证)．所以必有

bs 2bst t b

bs bt 1

2

2

2

2

2

s