2010年全国高中数学联赛试题参考答案

2010年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）

考试时间：2010年10月17日 8：00—9：20

一、填空题（本题满分64分，每小题8分）

1.函数()f x 的值域是______________.

2.已知函数2(cos 3)sin y a x x =-的最小值为3-，则实数a 的取值范围是_____________.

3.双曲线221x y -=的右半支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是___________.

4.已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中1122533,1,,3a b a b a b ====，且存在常数,αβ使得对每一个正整数n 都有log n n a b αβ=+，则αβ+=____________.

5. 函数2()32(0,1)x x f x a a a a =+->≠在区间[1,1]x ∈-上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是___________________.

6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率为_________________.

7.正三棱柱111ABC A B C -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角11B A P B α--=,则sin α=_____________.

8.方程2010x y z ++= 满足x y z ≤≤的正整数解(,,)x y z 的个数是_____________.

二、解答题（本题满分56分）

9.(本小题满分16分)已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，当01x ≤≤时，|()|1f x '≤，试求a 的最大值.

10. (本小题满分20分)已知抛物线26y x =上的两个动点11(,)A x y 和22(,)B x y ,其中12x x ≠且124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△ABC 面积的最大值.

11. (本小题满分20分)证明：方程32520x x +-=恰有一个实根r ，且存在唯一的严格递增正整数列{}n a ，

使得

31225

a a a r r r =+++ . 2010年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）

考试时间：2010年10月17日 9：40—12：10

一、（本题满分40分）

如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M .求证：若OK MN ⊥,则,,,A B D C 四点共圆.

二、（本题满分40分）

设k 是给定的正整数，12r k =+

.记()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥（1）,(1)()(()),2l l f r f f r l -=≥（）.证明：存在正整数m ,使得()()m f r 为一个整数.这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如11,112⎡⎤==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥

.

三、（本题满分50分）

给定整数2n >,设正实数12,,,n a a a 满足1k a ≤,1,2,,k n = ,记

12,1,2,,.k k a a a A k n k

+++=

= 求证：1112

n n k k k k n a A ==--<

∑∑.

四、（本题满分50分）

一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：这种密码锁共有多少种不同的密码设置.

2010年全国高中数学联合竞赛

一试试题参考答案与评分标准

说明：

1.评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次。

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。

一、填空题

1.[-.

2.3122

a -≤≤

3.9800.

4.3

5.14-.

6.1217

.

8.336675.

1. 易知[][]85)(85)(，在，且，的定义域是x f x f 上是增函数，从而可知)(x f 的值域为[-3,3].

2.

令sin x =t ，则原函数化为g (t )=(-at 2+a-3)t ，即

g (t )=-at 3+(a-3)t.

由-at 3+(a-3)t ≥-3，

-at (t 2-1)-3(t-1)≥0，

(t-1)(-at (t +1)-3)0≥及01≤-t 知

-at (t +1)-30≤即3)(2-≥+t t a . （1）

当t =0，-1时（1）总成立：

对20,102≤+<≤<t t t ； 对041,012<+≤-

<<-t t t . 从而可知.1223≤≤-

a 3.

由对称性知，只需先考虑x 轴上方的情况，设(1,2,,99)y k k == 与双曲线右半支交于点k A ，与直线100x =交于点k B ，则线段k k A B 内部的整点个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为

991(99)9949k k =-=⨯∑，

又x 轴上有98个整点，

则所求整点个数为24999+98=9800⨯⨯.

4.

设{}{},,q b d a n n 的公比为的公差为则

3+d =q ， （1）

3（3+4d ）=q 2，（2）

（1）代入（2）得

.9,6961292==++=+q d d d d ，求得

从而有βα+=-+-19log 163n n ）（对一切正整数n 都成立，

即βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立。

从而βαα+-=-=9log 3,69log ， 求得333333+=+==βαβα，，.

5.

令y a x =，则原函数化为）在（+∞--+=,2

3)(,23)(2y g y y y g 上是递增的， 当0<a<1时，∈y [1,-a a ]，

212823)(112max =

⇒=⇒=-+=---a a a a y g ， 所以412213)21()(2min -=-⨯

+=y g ； 当∈>y a 时，1[a a ,1-]，

2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ， 所以4

12232)(12

min -=-⨯+=--y g ， 综上∈x x f 在)([-1,1]上的最小值为41-. 6.

同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为12

73621=，从而先投掷人的获胜概率为 (12)

712512712512742+⨯+⨯+）（）（ =119

8414425-11127=⨯.

=

1217

.

7. 解一：如图，以AB 所在直 …… 此处隐藏：7332字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……