函数的单调性教案1

1.3.1函数的单调性教案

教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调

性及其几何意义；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．

教学重点：函数的单调性及其几何意义．

教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 教学过程： 一、 引入课题 1．

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的

哪些变化规律：

1 随x的增大，y的值有什么变化？ ○

2 能否看出函数的最大、最小值？ ○

3 函数图象是否具有某种对称性？ ○2．

1

．

f(x) = x

1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○

2 在区间 ____________ 上，随着x的增 ○

大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1

1 从左至右图象上升还是下降

○

2 在区间 ____________ 上，随着x的增

○

大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x2

1在区间 ____________ 上，f(x)○

着x的增大而 ________ ．

2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 ○

着x的增大而 ________ ． 二、 新课教学 （一）函数单调性定义

1．增函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，

当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动） 注意：

1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，○是函数的局

部性质；

2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，○

总有f(x1)<f(x2) ．

2．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

3．判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步

骤：

1 任取x1，x2∈D，且x1<x2； ○

2 作差f(x1)－f(x2)； ○

3 变形（通常是因式分解和配方）○； 4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）○；

5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）○．

（二）典型例题

例．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间． 解：（略）

思考：画出反比例函数y 的图象．

1 这个函数的定义域是什么？ ○

2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论． ○

1

x

说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象． 三、 归纳小结，强化思想

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 四、 作业布置

1． 提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)， 1 求f(0)、f(1)的值； ○

2 若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集． ○