2005年考研数学(一)试题分析详解(2)

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xlnxdx xlnx x C， 39

11

再代入初始条件即可得所求解为y xlnx x.

39

xy

2

完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.154

x2y2z21

{1,1,1}，则（3）设函数u(x,y,z) 1 ，单位向量n 61218 u

n

=

(1,2,3)

3. 3

【分析】 函数u(x,y,z)沿单位向量n {cos ,cos ,cos }的方向导数为：

u u u u cos cos cos n x y z

因此，本题直接用上述公式即可.

【详解】 因为

ux uy uz

， ，于是所求方向导数为 ， x3 y6 z9

u

n

(1,2,3)

=

111111 . 33333

【评注】 本题若n={m,n,l}非单位向量，则应先将其单位化，从而得方向余弦为：

cos

mm n l

2

2

2

,cos

nm n l

2

2

2

,cos

lm n l

2

2

2

.

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.330【例12.30】

（4）设 是由锥面z

x2 y2与半球面z R2 x2 y2围成的空间区域， 是

的整个边界的外侧，则 xdydz ydzdx zdxdy 2 (1

23

)R. 2

【分析】本题 是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.

【详解】

xdydz ydzdx zdxdy 3dxdydz

=3.

R

2

d 4sin d d 2 (1

2

23)R. 2