2005年考研数学(一)试题分析详解(5)

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x

也即f( x) f(x)，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则数，从而F(x)

f(t)dt为偶函

x

f(t)dt C为偶函数，可见(A)为正确选项.

12

x, 排除(D); 2

方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=

故应选(A).

【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系？

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.10【例1.5~1.7】

（9）设函数u(x,y) (x y) (x y)

x y

x y

(t)dt, 其中函数 具有二阶导数，

具有一阶导数，则必有

2u 2u 2u 2u (A) 2. （B） 2 2. 2

x y x y

2u 2u 2u 2u(C) . (D) . [ B ]

x y x2 x y y2

2u 2u 2u

【分析】 先分别求出2、2、，再比较答案即可.

x x y y

【详解】 因为

u

(x y) (x y) (x y) (x y)， x

u

(x y) (x y) (x y) (x y)， y

2u

(x y) (x y) (x y) (x y)， 于是 2

x

2u

(x y) (x y) (x y) (x y)，

x y

2u

(x y) (x y) (x y) (x y)， 2

y 2u 2u可见有2 ，应选(B). 2

x y

【评注】 本题综合考查了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算。作为做题技巧，也可取 (t) t, (t) 1，则u(x,y) 2x 2y 2y，容易验算只有

2

2

2