江苏省扬大附中东部分校2014-2015学年高一上学期(11)

19．（16分）已知奇函数f（x）的定义域为（﹣1，1），当x∈（0，1）时，

．

（1）求f（x）在（﹣1，1）上的解析式；

（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明之．

考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）设﹣1＜x＜0，则0＜﹣x＜1，利用已知表达式求出f（﹣x），再由奇函数的性质可求f（x），f（0）=0，从而可得f（x）的解析式；

（2）任取x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，比较f（x2）与f（x1）的大小，若f（x2）＞f（x1），则为增函数，若f（x2）＜f（x1），则为减函数． 解答： 解：（1）设﹣1＜x＜0，则0＜﹣x＜1， 故

又f（x）为奇函数，所以

，

，

由于奇函数f（x）的定义域为（﹣1，1），所以f（0）=0，

所以，f（x）=．

（2）解：f（x）在（0，1）上单调递增． 证明：任取x1，x2∈（0，1），且x1＜x2， 则

因为y=2在x∈R上递增，且0＜x1＜x2， 所以

，

x

，

因此f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）， 故f（x）在（0，1）上单调递增．

点评： 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，定义是解决有关问题的基本方法． 20．（16分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a （）+（），

（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；

x

x