传热学 第四版课件

传热学 陶文铨 第四版

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§3-3 一维非稳态导热问题的分析解 1、加热或冷却过程的分析解法(分离变量法) 厚度 2 的无限大平壁， 、a 为已知常数； =0时温度为 t0; 突然把两侧介质温度降低为 t 并保持不变；壁表面与介质之 间的表面传热系数为h。两侧冷 却情况相同、温度分布对称。 中心为原点。 2 初始条件： t

导热微分方程：

t

a

边界条件： x 0, t x 0; x , - t x h(t t ) (第三类)

x

2

0, t t 0

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t

a

t2

x

2

0, t t 0x 0, t x 0 x , - t x h(t t )

t ( x, ) t — 过余温度 2 a 0, t 0 -t 0 2 xx 0, x 0; x , - x h 采用分离变量法求解：取

X ( x) ( )

x

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a

2

x

2

0, t 0 -t 0x 0, x 0 x , - x h x

X ( x) ( )只为 的函数1 d a d 1 d X X dx22 2

只为 x 的函数

只能为常数：

1 d a d

1 d X X dx2

2

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( x, ) 0 n 1

2 sin n

n sin n cos n

cos( n x) exp( a n )2

; n

n

Fo a 2 sin n

2

傅里叶准则 无量纲时间

( x, ) 0 n 1

n sin n cos nBi h

cos( n

x

)e

2 n Fo

Fo a

2

x

— 无量纲距离

( x, ) 0

f (Bi, Fo,

x

)

可以证明：若保持过余温度的定义不变，上述公式 同样适用于加热过程

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此处Bn为离散面(特征值),满足下列方程:tan( n ) Bi , n 1, 2 ,...

n

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( x, ) 0 n 1

2 sin n

若Fo 0.2(正规状态): ( x, )

n sin n cos n2 sin 1

cos( ncos( 1

x

x

)e

2 n Fo

0

1 sin 1 cos 1

)e

12Fo

对于 Fo 0.2 时无限大平壁的非稳态导热过程：温度场 可按上式计算；也可用计算线图(诺谟图)

( x, ) 0

( x, ) m ( ) m ( )x

0

f ( Bi,

) f (Bi, Fo)

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当Fo>0.20 (正规状态)

( x , ) m ( )

cos( 1

x

) cos( 1

x

)

1 1 和温度无关 正规状况阶段或充分发展阶段

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对于无限大平壁的非稳态导热过程： 温度场按前面原始的计算式计算 (3-19 ):

( x, ) 0 n 1

2 sin n

n sin n cos n

cos( n

x

)e

2 n Fo

经过 秒钟、每平方米平壁放出或吸收的热量：Q c (t 0 t )dx c

( 0 )dx2 2 sin n n2Fo 2 c 0 1 2 e n 1 n sin n cos n n

J

m

2

Q Q0

f (Fo, Bi ); Q0 c 0 — 每m 平壁t0 t 2

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Q Q0

f (Fo, Bi ); Q0 c 0 — 每m 平壁t0 t 2

对于第一类和第二类边界条件下无限大平壁的加热 或冷却过程的分析解与计算线图可参见有关文献

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对无限大平板，长圆柱体及球： 及 可用一通式表达Fo>0.20 (正规状态) 0 A exp( 1 F 0 ) f ( 1 y )2 2

0 A exp( 1 F 0 ) B i

无限大平 板 长圆柱体 及球

y x y x

R

Bi h B i hR

F 0 az F 0 az

R

2

2

此处的A,B及函数

见P74表3-2

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I. 近似拟合公式对上述公式中的A,B,μ 1,J0 可用下式拟合 2 1

(a

b Bi

)

1

A a b( 1 e B a cB i 1 bB i

cBi

)

J 0 ( x ) a` b` x c` x d ` x2

3

式中常数a ,b ,c ,d 见P75表3-3 a`,b`,c`,d`见P75表3-4

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II. 海斯勒图法 ( x, ) 0

( x, ) m ( ) m ( )

0

;

f (Bi,

x

) f (Bi, Fo)

和时间无关

(Bi,

x

)

( x, ) m ( )

平均过余温度

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( x, ) 0

( x, ) m ( ) m ( )

0

;

f (Bi,

x

) f (Bi, Fo)

(Bi, Fo)

m ( )