北京四中---高中数学高考综合复习___专题三十一___二项式定理

高中数学高考综合复习 专题三十一 二项式定理

式

定

理

，

1

三

、

、

知

识定

要

点 义

，这一公式表示的定理叫做二项

其

中

叫做二项

用

表

示

；

（1

）公式右边的多项式叫做式

①

项（

（数

：1

）Ⅰ二

项

二）展

（

2

）

系

数

，

第

r+1

项

叫

的二项展开式；上述二项展开式中各项的系数做

二

项

展

开

式

的

通

项

，

叫做二项展开式的通项公式。

2.

项二开

式

共展

项n+1开

（式展

二

的开项

式

认特式的

指点

的数

+1与

功特）

项

知 能 点 ；

②指数：二项展开式各项的第一字母a依次降幂（其幂指数等于相应二项式系数的下标与上标的差），第二字母b依次升幂（其幂指数等于二项式系数的上标），并且每一项中两个字母的系数之和均等于二项式的指数n；

③系数：各项的二项式系数下标等于二项式指数；上标等于该项的项数减去1（或等于第二字母b的幂指数；

（

Ⅱ

）

二

项

展

开

式

的

功

能

注意到二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a，b不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒等式。因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据。

又注意到在

的二项展开式中，若将各项中组合数以外的因子视为这一组合数的系数，则易见展开式中各组

合数的系数依次成等比数列。因此，解决组合数的系数依次成等比数列的求值或证明问题，二项式公式也是不可或缺的理

（Ⅱ）单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得最大值。其中，当n

为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数

论

（

2

）

二

依项

式

系

据数

的

性

。 质

（Ⅰ）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。

最大；当n

为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数

，

且

最

大

，。

相等

（

Ⅲ即

）二

项

组展

开

合式

总中

各

数项

公的

二

式

项

式

：系

数

之

和

等

于

（Ⅳ）“一分为二”

的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即

四

、

典

型

例

题

例1、

已知二项式

展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。

解：二项展开式的通项公式

为

由此得二项展开式中末三项的系数分别

为

，

，

依注

题意

到

意

这

得

里

，

故

得

n=8

∴

设第

r+1项∴

为有

理项，则有x，T5

项

的幂指

4

数

，为

式有

为8理得

整数， ，

r=0T1

通，

∴ 又

这里由

，

T9公

项， ：

，

，

∴ 所求二项展开式中的有理项分别

为

，

，

点评：

二项展开式中关于某些项或某些项的系数问题，一般都要运用通项公式。若对常数，x为变量），则当g(n,r)为自然数

时

为整式项；当g(n,r)为整数

时

（λ为相 为有理项。

例2、 已

知

（

2

）

系

（

1

）

二

的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，试求： 项数

的式

绝系对

数值

最最大大的的

项项

； ；

（

3

解

：

∴

二

项

展

开式

∴二

∴

二

项

展

开

式

∴所求二

（2）设第 则

解之

得

）

系

数最大

的

项。

由

题意

得 ∴

n=10

的

通项公式为

（1） ∵

n=10

，

项展开式

共

11项 中

间

一

项

即

第六

项

的

二

项

式

系

数

最

大 又

项式系数最大的项为

r+1项系数的绝对

值 最大，

有

，注意

到 ， 故

得

r=3

的