2012年海淀区二模数学试题及参考答案(理科)(8)

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491ln . 542

491

所以 使得f(x2) f(x1) m恒成立的m的最大值为ln .……………14分

542

所以 f(x2) f(x1)的最小值为f(0) f(1)

20、（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以f(3) 3．

因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，所以f(5) 7．……3分

（Ⅱ）结论是f(n 1)

1

[f(n) f(n 2)]. 2

证明如下：由结论知，只需证f(n 1) f(n) f(n 2) f(n 1).

因为n 1 2，把n 1的一个表示法中a1=1的a1去掉，就可得到一个n的表示法；反之，在n的

一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个n+1的表示法，即n 1的表示法中a1=1的表示法种数等于n的表示法种数，所以f(n 1) f(n)表示的是n 1的表示法中a1¹1的表示法数，f(n 2) f(n 1)是

n+2的表示法中a1¹1的表示法数．

同样，把一个a1¹1的n 1的表示法中的ap加上1， 就可得到一个a1¹1的n+2的表示法，这样就构造了从a1¹1的n 1的表示法到a1¹1的n 2的表示法的一个对应.

所以有f(n 1) f(n) f(n 2) f(n 1).……………………………………9分 （Ⅲ）由第（Ⅱ）问可知：

当正整数m³6时，f(m)-f(m-1)?f(m1)-f(m-2)吵 又f(6) 11,f(5) 7, 所以 f(m)-f(m-1) 4. *

对于*式，分别取m为6,7, ,n，将所得等式相加得

f(6)-f(5).

f(n) f(5) 4(n 5).即f(n) 4n 13．……13分