2.5 Laplace变换的应用

§25 .Lapacl变换的e用应1微 、积分分方程的Lalape变换解c法 * 偏微分2程的方aLlapce变换解 法3 线性*统的系递函传数

L

palcea换和变Fuorir变e换样一在，多工程技许

术科学研和领究域中着广有的应用，泛特别在力是学统系电学、统、自系控动系统制、靠性系可统以随及机 服系务等统系科学统都中着重要起的用作人们。 研在这究系统些时，往是从往实问际出题，发将研的究对象归结 一为个学数模，型许多在场下，这合数学个模是线性型的。

换句话，说它可用线以的性分方程积、微分方、程微分 分积程乃方于至偏分微程方等来述描，样这我， 们以象可F用oruire换那样变，L用plaae变c换一这方法去析和分求解这类性方线，程而我且们可发现这以方一法是十有效的，甚至是不可分少的。缺的它求解 骤和步用Furoier变换法方解求类线此方性的步骤完程 全似。最类，后要给出线性还统系的递传函这数一 要重概念的。

微分、积分1程的方aLlacpe换变解法用Lplace变换a法求方方程的解骤和步Fou用ierr 变换的法方解求类线此方性程的步完全骤类。这似 解种的法示意图如。这是下们我解求此类方程的主要 方。 象原函法数 取aplLca逆变换e(方程 解)的 象数函解数代方

程微分积 分、程方

L取aplae变c

换象函数的代 方数程

例1求方程的 。解解 设程的方解满足始初条

件设

对且方程两边的La取plce变a换，由初又条件，始得是这含知未量Y ()的s数方程，整代理后出解Y(s) 得，

这是所便求数函的aplLcea换变，其取逆可得就求所数函

例1

求 方程的解 。解满足初始件条这是便所求数的函Lplacea变换，其取就可得所求函数逆了为Y求s()的变换，将逆它化为分分部的形式，工

取变换，逆得

例2 方程求解设解为 满足界条件 的解，边中 其l为已知 常数。 且设对方的程两边取Lpalace换，又由边变条件，界

得理整可得

取其逆变后换可得，

2例 求程方解

足满边条件 的界解其，中 l为已 常数。知令 =xl代入 式，由第二上边界条个可件得从而

于

这是是所便求分方微程足边满界条件的。解

例 求方程解 设方程的解满足始条件初且设

的。

解对方的程边两Lapl取ca变换，又e由始条初，件得这是未知含量 (Ys的代数方程),理后整解出 (s)Y,得

取其就逆可得所求数函

过通求解过程以可现发，常系数性线分微方程的边值题可问以当作先它的初问值来题解求而所得微，分 程的方中解含有知未初值的由已知的边可来值解求 ，而从最后全完确微分方程定满边界条件的足解。对 某于些变数系微的方分，程方程中即一项为 每形式时也的以可用apLacl变换e的法方解求 。

由象数函的微性质可知

从分而

3 求方程的解例 解 设。方的程 解方程的两边取对aplacL变e换， 即亦 设且满足初条始件又由初条件，始代整理入简化后可得

3 例方求程解的。解

满 足始初件

这是条分可变量的一离阶分微方，程即

分积后可得 以

所例

求方3程的解。 解逆变取可换得满足始条件初

确为常定C,令 数 =0 代入t有,故方程满足初始条的解件为

例求方 程的。解解 设 方的程解满足始初条件

且

对方设的程两边取Lplacae变，换 即

又由初条始，件代入理整简后化可得例 求

方程的解 。 解设方的解程满足初始条件

积后分可得逆取变可换

得例

求方的程解 解 。为定确常数C,令满初始足条

件入代有，故方满足程始初条件解为的