【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学人教版选修2-1(学业分层测评)第三章 空间向

1 学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．已知a ＝(1，－2，1)，a －b ＝(－1，2，－1)，则b ＝( )

A ．(2，－4，2)

B ．(－2，4，－2)

C ．(－2，0，－2)

D ．(2，1，－3)

【解析】 b ＝a －(－1，2，－1)＝(1，－2，1)－(－1，2，－1)＝(2，－4，2)．

【答案】 A

2．设A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B.532 C.532 D.132

【解析】 ∵AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，∴CM →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，12，3，故|CM |＝|CM →|＝ 22

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋32＝532. 【答案】 C

3．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(k ，1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( )

A ．－6

B ．－23

2 C. 2

3 D ．14

【解析】 由题意得a ＋2b ＝(2＋2k ，5)，且a －b ＝(2－k ，2)，

又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝23.

【答案】 C

4．如图3-1-36，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1、平面BCC 1B 1的中心，则E ，F 两点间的距离为(

)

图3-1-36

A ．1 B.52 C.62 D.32

【解析】 以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

E (1，1，2)，

F ⎝

⎛⎭⎪⎫2，1，22，所以|EF |＝ （2－1）2＋（1－1）

2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22＝62，故选C.

3 【答案】 C

5．已知a ＝(1－t ，1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是( ) A.55 B.555 C.355 D.115

【解析】 b －a ＝(1＋t ，2t －1，0)，

∴|b －a |2＝(1＋t )2＋(2t －1)2＋02

＝5t 2

－2t ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95. ∴|b －a |2min ＝95

. ∴|b －a |min ＝355.

【答案】 C

二、填空题

6．已知点A (1，2，3)，B (2，1，2)，P (1，1，2)，O (0，0，0)，

点Q 在直线OP 上运动，当QA

→·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________．

【解析】 设OQ

→＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，故Q (λ，λ，2λ)，故QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB

→＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．则QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，当QA →·QB →取最小值时，λ＝43，此时Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫43，43，83.

4 【答案】 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫43，43，83 7．若AB

→＝(－4，6，－1)，AC →＝(4，3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB →，a ⊥AC

→，则a ＝________． 【解析】 设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎨⎧

a ·AB

→＝0，a ·AC →＝0，|a |＝1，

代入坐标可解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝313，y ＝413，z ＝1213或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313，y ＝－413，z ＝－1213

.

【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫313，413，1213或⎝ ⎛⎭

⎪⎫－313，－413，－1213 8．若A (m ＋1，n －1，3)，B (2m ，n ，m －2n )，C (m ＋3，n －3，

9)三点共线，则m ＋n ＝________．

【解析】 因为AB

→＝(m －1，1，m －2n －3)，AC →＝(2，－2，6)，由题意得AB →∥AC →，则m －12＝1－2

＝m －2n －36，所以m ＝0，n ＝0，m ＋n ＝0.

【答案】 0

三、解答题

9．已知向量a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，点A (－3，－1，

4)，B (－2，－2，2)．

(1)求|2a ＋b |; 【导学号：18490101】

5 (2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE

→⊥b ？(O 为原点) 【解】 (1)2a ＋b ＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)

＝(0，－5，5)，

故|2a ＋b |＝02＋（－5）2＋52＝5 2.

(2)OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1，4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t ，4－2t )，

若OE

→⊥b ，则OE →·b ＝0， 所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，

因此存在点E ，使得OE →⊥b ，E 点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－65，－145，25. 10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是正方形ABCD 的中心．

求证：OA 1

→⊥AM →. 【证明】 建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为

1个单位，则A (1，0，0)，A 1(1，0，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，O ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，12，0.

∴OA 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1，AM →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1，0，12. ∵OA 1→·AM →＝12×(－1)＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12×0＋1×12＝0，

6 ∴OA 1

→⊥AM →. [能力提升]

1．已知向量a ＝(－2，x ，2)，b ＝(2，1，2)，c ＝(4，－2，1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )

A ．－2

B ．2

C ．3

D ．－3

【解析】 ∵b －c ＝(－2，3，1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.

【答案】 A

2．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )

A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

【解析】 a ＋b ＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a －b ＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，

∴(a ＋b )⊥(a －b )．

【答案】 A

3．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1，1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．

【解析】 因为a 与b 的夹角为钝角，所以a·b <0，所以3×(－

1)＋(－2)×(x －1)＋(－3)×1<0，解得x >－2.若a 与b 的夹角为π，

则x ＝53，

7 所以x ∈⎝ ⎛ …… 此处隐藏：1401字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……