【原创】2020-2021学年上学期高一第二次月考备考(4)

好教育云平台 第二次月考备考金卷 第7页（共10页） 好教育云平台 第二次月考备考金卷 第8页（共10页）

∴函数()f x 在[1,2]上的值域为5[,2]4

．

20．（12分）已知幂函数37

()m y f x x -+==，其中m +∈N ．

①在区间(0,)+∞上是增函数；②对任意x ∈R ，都有()()f x f x -=． （1）求同时满足①、②两个条件的幂函数()f x 的解析式； （2）求[0,2]x ∈时，()f x 的值域．

【答案】（1）4

()f x x =；（2）[0,16]．

【解析】（1）幂函数37

()m y f x x

-+==在区间(0,)+∞上是增函数，

∴370m -+>，解得7

3

m <，

又m N +∈，∴1m =或2m =，

当1m =时，4

()y f x x ==，此时符合()()f x f x -=；

当2m =时，()y f x x ==，此时()f x 为奇函数，()()f x f x -=-，不合题意，

∴幂函数()f x 的解析式为4

()f x x =．

（2）易得[0,2]x ∈时，()f x 为增函数，∴(0)()(2)f f x f ≤≤，0()16f x ≤≤， ∴[0,2]x ∈时，()f x 的值域为[0,16]．

21．（12分）一次函数()f x 是R 上的单调增函数，()()()g x f x x m =-，已知(())43f f x x =+． （1）求函数()f x 的解析式；

（2）若函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，求实数m 的取值范围；

（3）当[1,1]x ∈-时，函数()g x 有最大值6，求实数m 的值．

【答案】（1）()21f x x =+；（2）1

2

m ≤

；（3）1m =-或5． 【解析】（1）设()f x ax b =+，则2

(())()(1)43f f x a ax b b a x a b x =++=++=+，

又∵()f x 是R 上的增函数，∴2a =，1b =， ∴()21f x x =+．

（2）2

()(21)()2(12)g x x x m x m x m =+-=+--，对称轴为21

4

m x -=

， ∴()g x 在21

(

,)4

m -+∞上单调递增， 若函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，则

2104m -≤，∴1

2

m ≤． （3）因为()g x 开口向上，故闭区间上的最大值，只能在端点处取得，

若max ()(1)3(1)6g x g m ==-=，∴1m =-，此时(1)0g -=，满足(1)(1)g g >-； 若max ()(1)16g x g m =-=+=，∴5m =，此时(1)12g =-，满足(1)(1)g g ->， 综上，1m =-或5．

22．（12分）已知函数1

(log )(1)()a f x a x x -=--（0a >且1a ≠）．

（1）求()f x 的解析式； （2）判断()f x 的单调性；

（3）当(2,2)x ∈-时，有(1)(12)0f m f m -+-<，求m 的取值范围．

【答案】（1）()(1)()()x x

f x a a a x -=--∈R ；（2）函数()f x 在R 上是增函数；（3）23

(,)32

．

【解析】（1）令log a x t =∈R ，则t x a =，∴()(1)()t t

f t a a a -=--，

()(1)()()x x f x a a a x -=--∈R ．

（2）当1a >时，10a ->，x y a =是增函数，x

y a -=-也是增函数，∴()f x 是增函数；

当01a <<时，10a -<，x y a =是减函数，x

y a -=-也是减函数，∴()f x 是增函数，

∴函数()f x 在R 上是增函数．

（3）∵()(1)()(1)()()x

x x x f x a a

a a a a f x ---=--=---=-，

又(1)(12)0f m f m -+-<，，∴(1)(21)f m f m -<-，

∵()f x 在(2,2)-上是增函数，∴212

2212121

m m m m -<-<⎧⎪

-<-<⎨⎪-<-⎩

，∴2332m <<，

故m 的取值范围是23(,)32

．