分数阶系统的分数阶PID控制器设计(2)

分数阶PID

772控制理论与应用第24卷

的普遍化,它可以提供建立更多的模型,得到更鲁棒的控制结果.

近年来,分数阶控制器也越来越受到研究者们的关注.文献[3]通过最小化积分平方误差给出了一种分数阶控制器.文献[4]给出了一些分数阶控制器的数值例子.文献[5]设计了一个PIα控制器.文献[6]针对二惯性系统的速度控制提出了一个分数阶的PIαD控制器.大多数研究者考虑将分数阶控制器应用到整数阶系统来提高系统的控制效果.对于现实情况中的各种实际系统,分数阶模型能够比整数阶模型准确,也为一些动态过程的描述提供了很好的工具.针对这些分数阶系统,分数阶控制器能更好体现它的优点.本文针对分数阶系统提出一种设计分数阶控制器.

2分数阶微积分(Fractionalcalculus)

分数阶微积分就像一门新的语言一样,有它自己独特的逻辑和语法规则.在分数阶微积分领域里,为了更好地明白那些基本原则需要开发新的定义与原理.在仔细分析的基础上,还要证明对于描述函数、系统的方法和操作是正确的.因此,分数阶微积分不仅是更好的建模工具,而且还可以从数学上精确证明系统的正确性.

分数阶微积分的基本操作算子为aDα

t

,其中a和t是操作算子的上下限,α为微积分阶次[7],是一个复数,本文假定它为一实数 .

dα

dα,R(α)>0,aDα

tt= 1 ,R(α)=0,(1)ta

(dτ)( α),R(α)<0.

最常用的分数阶微积分定义是Riemann-Liouville(RL)定义和Gr¨unwald-Letnikov(GL)定义.RL定义为

f(t)=1d m

tf(τ)aDα

tΓ(m α)dt

a(t τ)1 (m α)dτ,(2)

式中(m 1<α<m),Γ(·)是著名的EulerGamma函数.GL定义为

1(t a)/haDα

Γ(k+α)tf(t)=hlim→0Γ(α)hαf(t kh),k=0Γ(k+1)

(3)

可以看到通过引入分数阶操作算子aDα

t,积分和微分可以被统一在一起.

描述分数阶系统更常用的代数工具是拉氏变换.在t=0时刻加入的信号x(t)的n(n∈R+)阶微分的拉氏变换[8]L 为

Dnx(t)

=snX(s).

对于分数阶微积分方程,如果在t=0时刻有输入与输出信号u(t)和y(t),传递函数为

a1sα1+a2sα2G(s)=

+···+ammAsαA

b2+···+b,(4)1sβ1+b2sβmβmBsB其中(am,bm)∈R2,(αm,βm)∈R2+, m∈N.

3

分数阶PID控制器(FractionalorderPID

controller)

分数阶PID控制器的一般形式为PIλDµ控制器,包括一个积分阶次λ和微分阶次µ,其中λ和µ可以是任意实数.其传递函数为

G+KI

c(s)=KPsλ+KDsµ,(λ,µ>0),(5)

这里积分项是sλ,就是说,在相频的对数图中,它的斜率是 20λdB/dec,而不是 20dB/dec.

在时域中控制信号u(t)可以表示为

KPe(t)+KID λe(t)+KDDµe(t).

(6)

古典的整数阶PID控制器是分数阶PID控制器在λ=1和µ=1时的特殊情况.当λ=1,µ=0时,就是PI控制器;当λ=0,µ=1时,就是PD控制器.可见,所有这些类型的PID控制器都是分数阶PID控制器的某一个特殊情况.分数阶PID控制器多了两个可调的参数λ和µ.通过合理地选择参数,分数阶PID控制器可以提高系统的控制效果.分数阶控制器是古典整数阶控制器的一般化.分数阶PID控制器对于用分数阶数学模型描述的动态系统,可以取到很好的控制效果.

4

分数阶控制器参数的设计(Designoffrac-tionalordercontrollerparameter)

对于实际情况中的受控对象,可以根据期望的幅值裕量Am和相位裕量φm来设计分数阶PID控制器,使其满足系统的性能要求.从幅值裕量Am和相位裕量φm的基本定义出发,动态受控对象Gp(s)和控制器Gc(s)应该满足下列关系:

φm=arg[Gc(jωg)Gp(jωg)]+π,

(7)A1

m=|G(jωG,

(8)

cp)p(jωp)|

其中ωg为

|Gc(jωg)Gp(jωg)|=1.

(9)

而ωp满足

arg[Gc(jωp)Gp(jωp)]= π.

(10)

将Gc(s)用等式(5)来代替,则可以得到下列关系:

cosπλKP+KI2

πµµωλ+KDcos(ωp

)=Rmp,(11)

p2