分数阶系统的分数阶PID控制器设计(3)

分数阶PID

第5期薛定宇等:分数阶系统的分数阶PID控制器设计773

KKcosπλπµP+I2

ωλ+KDcosωµg=Rmg,(12)g2 Ksinπλ2πµIµωλ+KDsinωp=Imp,

(13)p2sinπλ Kω+KπµI2Dsinωµ

λg

=Img.

(14)

g2其中:

1

Aω=Rmp+jImp,

(15)mGp(jp)

cosφm jsinφm

G=Rmg+jImg.

(16)

p(jωg)

在设计控制器时,受控对象Gp(s)和期望的幅值裕量Am、相位裕量φm都是已知的.这里有4个方程7个变量(ωp,ωg,λ,µ,KI,KP,KD).其余的3个参数可以通过使误差平方最小化来决定 :

J=∞

e2(t)dt.(17)

如果参数ωp,ωg,λ,µ是已知的,则控制器的系

数KI,KP,KD就可以唯一地确定出来:

KP=[ωλλ

pRmp ωgRmg

cotπµ(ωλλImg)]/(ωλλpImp ωgp ωg)=

[ωµ2µgRmp ωpRmg+

cotπλ2

(ωµµµωµgImp ωpImg)]/(ωg p),(18)

λλ

µKωgωp(ωg

Imp ωµpImg)I=sinπλ

ωp ω,(19)g()

KωλpImp ωλD=

gImg

sinπµ(ω .(20)

2

pωg)基于方程(18),决定的变量λ,µ,ωp和ωg应该满

足下面的约束条件:

(ωλ+µ ωλ+µmg)+(ωλ+µgp)(Rmp RpImp+

ωλ+µ

πµλ+µλ+πλgImg)cot2+(ωmg+ωµpIgImp)cot2

(cotπλπµλµλµ

2+cot2

)(ωpωgImp+ωgωpImg)=0.(21)

在最小化指标(17)和上面的约束条件下,可以确定参数λ,µ,ωp和ωg.然后,根据系统的要求来设计分数阶PID控制器.其设计算法如下:

·根据系统实际要求确定幅值裕量Am和相位裕量φm;

·由系统特征与实际经验确定分数阶控制器的阶次;

·在满足约束条件(21)与最小化指标(17)的条件下确定分数阶控制器的其余参数.

下面通过例子来形象地说明该方法.

5仿真实例(Simulationexamples)

例1文献[9]中给出了一个加热炉的例子,并分别建立了加热炉的整数阶模型和分数阶模型.加热炉的整数阶模型(integerordermodel简称为IOM)是一个二阶的微分方程

G1

Ip(s)=73043s2+4893s+1.93,

分数阶模型(fractionalordermodel简称为FOM)为

G)=

1

Fp(s14994s1.31+6009.5s0.97+1.69.加热炉的两个模型的阶跃响应如图1所示.根据他们的输出响应,得出结论分数阶系统模型要比整数阶模型更准确

.

图1加热炉的阶跃响应图

Fig.1Unitstepresponseoftheheatingfurnace

对于加热炉的整数阶模型先设计一个整数

阶PID控制器.首先将其近似为一阶滞后加延迟系统

Gs)=0.51813

Ip(e 14.97s2520.2609s+1.

根据Murrill提出的最小化IAE算法,设计的整数阶控制器(integerordercontroller简称为IOC)为

G5.04

Ic(s)=310.96+s+1113.24s.图2显示了将整数阶PID控制器分别应用到整数阶模型和分数阶系统模型的结果.从图中可以看出,将整数阶控制器应用到分数阶系统模型的效果比将其应用到整数阶模型的效果还要差.闭环的分数阶系统的调节时间和上升时间都要比整数阶系统慢,只是超调量有点降低.

基于整数阶PID控制器的参数和加热炉的分数阶模型,选取φm=π/3,Am=1.5.将λ和µ选定在(0.1,0.9)范围内,步长为0.1.图3显示了不