八年级数学竞赛试题(4)

22、（8分）一条大河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出发到河对岸，已知船在静水中的速度|V1|=10km/h，水流速度|V2|=2km/h，当船垂直于对岸行驶与水流成直角时，所用时间是否最短，请说明你的想法和理由。

23、（10分）△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点，（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE。（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时，①求证：△AEB≌△ADC②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由； （2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时， 直接写出（1）中的两个结论是否成立？

（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，

四边形BCGE是菱形？并说明理由是。 24、（10）在“青海玉树大地震”灾民安置工作中，某企业接到一批生产甲种板材24000m2和乙种板材12000 m2的任务。（1）已知该企业安排140人生产这两种板材，每人每天能生产甲种板材30 m2或乙种板材20 m2，问：应分别安排多少人生产甲种板材和乙种板材，才能确保他们用相同的时间完成各自的生产任务？

（2）某灾民安置点计划用该企业生产的这批板材搭建A、B两种型号的板房共400间，在搭建过程中，

按实际需要调运这两种板材，已知建一间A型板房和一间B型板房所需板材及能安置的人数如下表所示：

问：这400间板房最多能安置多少灾民？

AA

GCEDB

F

C

B GDE

图（b)图（a)

25、（12分）阅读理解：对于三个数a、b、c，我们用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，

用min{a，b，c}表示这三个数中的最小数，如：M{-1，2，3}=

1 2 3

4

3=；min{-1，

3

2，3，}=-1；，2，a}=

-1（a＞-1）

探索应用：（1）填空：如果min{2，2x+2,4-2x}=2，

则x的取值范围是

（2）①如果M{2,x+1,2x}= min{2,x+1,2x}，求x。

②根据①中你发现的结论，如果M{a,b,c}= min{{a,b,c}，那么 （填a,b,c大小关系），并证明此结论

③用②的结论填空：若M{2x+y+2,x+2y,2x-y}= min{2x+y+2,x+2y,2x-y}，则x+y= 26、（12分）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x2－x1，y2－y1）（x31，3y1），AB●AC=（x2－x1）（x3－x1）+（y2－y1y31），若AB●AC=0，则AB⊥AC，已知：A（1，2），B（2，3），C（-2，5）试判断△ABC的形状，并给出证明。

27、（12分）定义：a=N(a＞0且a≠1,N＞aN

b

a(a≤-1）

logaN+logaM=logaNM, logaN－logaM=loga

1

值。 10

logaa=1, logaNn=nlogaN 例：log39+log714－log72

=log332+(log72+log77) －log72 =2log33+1 =2+1 =3

NM

求：log28+log510－

log52+log25+log2