初中数学竞赛第二轮专题复习(4)几何(6)

设a+b+c=2p，得

这就是内角平分线长公式． (3)当AD是△ABC的高时，

AD2=b2-u2=c2-v2．

再由u+v=a，解得

所以

若设AD=ha，则

这就是三角形的高线长公式．当D在BC的延长线上时，用-v代替v，同样可得高线长线公式．

这就是三角形的面积公式．

伦公式

例5 如图3－106．在△ABC中，c＞b，AD是△ABC的角平分线，E在BC上，BE=CD．求证：

AE2-AD2=(c-b)2．

证 为方便起见，设BD=u，DC=v，则BE=v，EC=u．由斯台沃特定理得

所以

因为AD是角平分线，所以

于是

4．托勒密定理

托勒密(Ptolemy，约公元85～165年)是古代天文学的集大成者．一般几何教科书中的“托勒密定理”(圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积)，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．

定理 如果四边形内接于圆，那么它的两对对边的乘积之和等于它的对角线的乘积．

证 设四边形ABCD有外接圆O，AC和BD相交于P，∠CPD=α(图3－107)．若四边形ABCD的四边都相等，则四边形ABCD为圆内接菱形，即正方形，结论显然成立．若四边不全相等，不失一般性，设

∥

BD，于是△ABD≌△EDB，从而AD=BE．

又

而 S四边形ABCD=S四边形BCDE， 所以

即

(AD×BC+AB×CD)sin∠EBC=AC×BD×sinα． 由于

∠α=∠DAC+∠ADB=∠DBC+∠EBD=∠EBC， 所以