初中数学竞赛第二轮专题复习(4)几何(7)

AD×BC+AB×CD=AC×BD．

说明 (1)托勒密定理可以作如下推广：“在凸四边形ABCD中，

AB×CD+AD×BC≥AC×BD．

当且仅当四边形ABCD是圆内接四边形时，等号成立．” 由此可知，托勒密定理的逆定理也成立．

(2)托勒密定理的证明方法很多，这里采用的是面积证法．还可采用相似三角形或余弦定理证明，请读者自行完成．

例6 如图3－108．过A的圆截平行四边形ABCD的边和对角线分别于P，Q，R，求证：

AP×AB+AQ×AD=AR×AC．

证 连结PQ，PR，QR．在圆内接四边形APRQ中，由托勒密定理得

AP×QR+AQ×PR=AR×PQ．

又因为∠1=∠2，∠3=∠4，所以△PQR∽△CAB，于是

设上面的比值为k，并考虑到BC=AD，有 QR=k·AB，PR=k·AD，PQ=k·CA，于是可推得

AP×AB+AQ×AD=AR×AC．