2013年全国高考数学理科试卷湖南卷(解析版)(12)

（II）由前知，y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的。因此，若在图像上存在两点

P(x1,y1),Q(x2,y2)满足题目要求，则P,Q分别在两个图像上，且f'(x1) f'(x2) 1。 3a

(x 2a)2,当x 2a,或x a时

3af'(x) ,当 2a x a时 2

(x 2a)

0 a 4

不妨设

3a 3a

1,x1 (0,a),x2 (a,8] 3a (x1 2a)(x2 2a) 22

(x1 2a)(x2 2a)

2

3a 2ax 4a2

a3a 2ax2 4a2 0 2

0 x1x2 2a(x1 x2) 4a 3a x1 x2 2a

x2 2a a x 8

2

0 3 2x2 4a 2x2 3 4a 2 4a 3 4a

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1 x2 2a 2 4a 2x2 2a 3 4a a ，且0 a 4 a (0,)

32 a x 8 2a 2x 16 2 4a 16

22

所以，当a (0,)时，函数y f(x)在区间 0,4 内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直.(完)

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