Kantorovich不等式的推广

Kantorovich不等式相当好

第24卷 第2期

2005年6月

文章编号:

成都大学学报(自然科学版)

JournalofChengduUniversity(NaturalScience)

Vol 24No 2 Jun 2005

1004-5422(2005)02-0081-03

Kantorovich不等式的推广

续铁权

(青岛职业技术学院,山东青岛 266071)

摘 要:本文的三个定理推广了Schweitzer不等式与Kantorovich不等式 关键词:Schweitzer不等式;Kantorovich不等式;凸函数;

Schur-凸函数

中图分类号:0178 1 文献标识码:A

1 引言与引理

文[1]介绍了两个重要不等式:

Schweitzer不等式若0<m ai M,i=1,2, ,n,则

n

2 主要结果

定理1 设ai>0(i=1,2, ,n), >0,M=max{a1, ,an},m=min{a1, ,an},M>m>0,则

(1)

1n

a

i

n

4Mm2

a

i

n

ai

+1

2

Kantorovich不等式若0<m ,i M,i=12, ,n,则

( u2

ii

4(M-m)(M-m)(Mm)证明 记S=

+1

(4)

u i

4i

+m2

( ui)

22

a,则M+

i

-

-

n

(n-1)m s

(2)

当ui=1(i=1,2, ,n)时,由(2)式可得到(1)式,所以Kantorovich不等式可以看作

Schweitzer不等式的推广

Schweitzer不等式和Kantorovich不等式有多种推广形式(参看[1],[2],[3]),本文的三个定理是Schweitzer不等式和Kantorovich不等式的指数推广

在下文中使用的概念和记号参看[4] 特别对

n

于x=(x1,x2, ,xn) R,把它的分量排成递减的次序后记作x =(x[1],x[2], ,x[n]),即x[1] x[2] x[n]

引理 设0<m ai M,i=1,2, ,n,记s=

(n-1)M+m,由引理知存在k N,1 k n-1,使(3)式成立 又易证x(3)式知

是I=(0,+ )上

[4]

的凸函数,所以 xi是I上的S-凸函数

,由

a

故

n

- i k M

-

+(n-k-1)m

-

+l,

-

这里l=s-kM-(n-k-1)m,m l M

a

i

n

a

-

i

++nMmlkM+(n-k-1)m+l=2

n

+(Mm)l

(5)

a,若M+

ik

(n-1)m s (n-1)M+m,

(3)

则存在k N,1 k n-1,使

M, ,M,l,m, , (a1,a2, ,an)

m-k-1

=fk(l)+km,则

fk(l)=

记u=kM+(n-k-1)m,v=(n-k-1)M

- a-a+1u(Mm)l+(Mm)l+vl+un(Mm)

这里l=s-kM-(n-k-1)m,m l M

此结果即为[5]中的引理2

收稿日期:2005-01-05

作者简介:续铁权(1937-),男,教授,从事数学不等式理论研究