Kantorovich不等式的推广(3)

Kantorovich不等式相当好

=1,设ui=

2

ki

ki,p是自然数,且p

kn

k

i

=p,以p(x)<式得

}=n

E

i

,ji

,i,j=0,1 n 由(8)

( , , 1, 1, n, , n,)代替(a1,a2, ,an),

k1

由(4)式得到

1

p

i,j

ti

jp

m(Ei,

j)n

,ji

m(E)

,jinti

2

ki

i

1

p

2i

ki

K(M,m,a), 1,以

u

2

i2i

K(M,m, )

2

,ji

m(Ei,j)n m(Ej)n

2

即(8)式成立 当

u

u

代替ui,同样

=K(M,m, )

j

可得到(8)式

2

若ui不都是正有理数,取n个正有理数列{ }(i=1,2, ,n;j=1,2, ),使当j , ui

,则由前面的证明知

i K(M,m,a)(j=1,2, ),令j ,即得(8)式

2

,ji

2

,jiai

22,,ji

2

,ji

令n ,由控制收敛定理[6],

b

i,jba

ti

n

j

2,ji

2

fp, m(E) ntf

m(E) p 再由上式即得(10)式 m(Ei,j)

j

a

i,j

i

i,j

ba

n

注4 (10)是Kantorovich不等式的积分形式

[2,3]

的指数推广

a

如果M max{ 1, , n}或m min{ 1, , , n},我们可以在集合{ 1, n}中添加 n+1=M( n+2=m),并令相应的un+1=0(un+2=0),即

可归结为前面的情形

注3 当 =1,由(8)式可得Kantorovich不等式,所以(8)式是Kantorovich不等式的指数推广

推论2 设0<m ,2, ,n),

i M(i=1 >0, >0,M>m>0,则

推论3 设 >0, >0,f L[a,b],1/f

L[a,b],0<m f(x) M(M>m>0),又p L[a,b],0 p(x) P则

fa

b

a

b

L(M,m, , )(f

p)a

b

2

(11)

北京联合大学石焕南教授,浙江海宁电大张小明老师审阅本文初稿并提出修改意见,作者谨表示感谢

参 考 文 献

[1]D.S.Mitrinovic,P.M.Vasic著,赵汉宾译 分析不等式[M] 南宁:广西人民出版社,1986,79~88

[2]匡继昌 常用不等式(第三版)[M] 济南:山东科学技术出版社,2004,163~164

[3]楼宇同 Schweitzer不等式,Gr ss不等式的推广及其之间的关系[J] 曲阜师范大学学报(自然科学版),1991,17(4):24~28

[4]王伯英 控制不等式基础[M] 北京:北京师范大学出版社,1990

[5]吴善和,石焕南 一类无理不等式的控制证明[J] 首都师范大学学报(自然科学版),2003,24(3):13~16[6]周民强 实变函数论[M] 北京:北京大学出版社,2001

'

'

u

i2i

ui

L(M,m, , )2

u

2

i

2

(9)

以下用f表示f(x),用

f表示af(x)dx,并以a和

nj=0

bb

ii

和

j

j

分别表示

ni=0

,以

,jia

表示

定理3 设 >0,f L[a,b],1/f L[a,

b],0<m f(x) M(M>m>0),又p L[a,b],0 p(x) P则

fpba

ab

K(M,m, )

af

a

p b2

(10)

[7]张小明 几何凸函数[M] 合肥:安徽大学出版社,2004:134~145

[8]A.M.MarshallandI.Olkin.Inequalities.TheoryofMa-jorizationandItsApplication[M].Press,1979,71

(下转96页)

NewYork:Academies

证明 设ti=m+(M-m),Ei,j={x:ti

njP(j+1)PjP

f(x)<ti+l; p(x)<},Ej={x:

nnn