Kantorovich不等式的推广(2)

Kantorovich不等式相当好

n

+12 (p-1) =4(p-1)(p-1)

2

+1

-a-2

计算得fk(l)=l[( +1)u+( -1)l]=

n - -2n

( s+u-l),注意m l M u,fk(J)>ln

0 所以任取k,1 k n-1,fk(l)都是[m,M]上的凸函数,fk(l) fk(m)与fk(l) fk(M)两个不等式必有一个成立 由(5)式得

fk(m)={[kM+(n-k)m][(n-k)M

+km]}/n(Mm)

a

a

2

a

a

所以fk(m)的最大值是=

4(p-1)(p-1)M,又因为fk(M)=4(M-m)(M-m)(Mm)

fk+1(m),故fk(M)的最大值与此相同

前面已经说过任取k,1 k n-1,fk(l) fk(m)与fk(l) fk(M)两个不等式必有一个成立,所以任取k,1 k n-1,都有

fk(l) 4(M-m)(M-m)(Mm)

+1

+1

2

+1

+1

2

+12

fk(M)={[(k+1)M+(n-k-1)m][(n

-k-1)M+(k+1)m]}/n(Mm)=fk+1(m)

下面把k看作实数,求出使fk(m)取最大值的k,把fk(m)的分子记做h(k)

h(k)=[kM+(n-k)m][(n-k)M+km]

=kMm+(n-k)Mm+k(n-k) (M+m)=-(M-m)(M

2a+1a+1a

-m)k+n(M+m-2Mm)k+nMm,

+1

它是k的二次函数,记p=,p>1,A=p-2p

m+1,B=p-2p+1,则当

+1 +1

n(M+m-2Mm)k=2(M-m)(M-m)

=2(p-1)(p-1)=

nA

,

2(p-1)(p-1)

+1

+1

2

a

a+1

a+1

a

a

2

a

2

a

a

a

a

2

a

(6)

综合(5),(6),就证明了(4)式

注1 当 =1,由(4)式可得Schweitzer不等式 所以(4)式是Schweitzer不等式的指数推广

注2 分析证明过程,(4)式等号成立条件是:(1)

是整数,把它记作k,1

2(p-1)(p-1)

k

n-k

+1

k n-1;(2)(a1,a2, ,an) =(M, ,M,m, ,m)

以下记K(M,m, )=(M

a

+1

-m)/[4(M

2

-m)(M-m)(Mm)]

推论1 设ai>0(i=1,2, ,n), >0, >0,M=max{a1, ,an},m=min{a1, ,an}m,M>m>0,则

1

n

a

i

n

a +

2

即n-k=

时,h(k)和

2(p-1)(p-1)

(M-m)

(7)4(M-m)(M-m)(Mm)

证明 在(4)中用ai代替ai,这时M,m, 应当用M,m,

+

+

fk(m)取最大值,将k=代入2(p-1)(p-1)h(k)=[kM+(n-k)m][(n-k)M+km],得到h(k)的最大值是

a

M+Bm)(BM+Am) (A

4(p-1)(p-1)

a

=22 (Ap+B)(Bp+A)4(p-1)(p-1)

+2 +1=-p-p+1)22 (p

4(p-1)(p-1)

2

+12

+1

2

a

a

代替,而K(M,m, +

2

)=这样就证明了4(M-m)(M-m)(Mm)(7)

以下记L(M,m, , )=(M

-m)(M-m)(Mm)]

+

-m

+

)/[4(M

定理2 设0<m ,2, ,n),i M(i=1 >0,M>m>0,则

ui222

( iui) K(M,m, )( ui) i

(8)

证明 先假定M=max{ , 1, n},m=min{ , 1, n} 若所有ui都是正有理数,当

2

(p

2 +1

-p

+1

-p+1)

+1

a

+1

=-1)(p-1) (p4(p-1)(p-1) (p

+1

2

-1)(p-1)

ui

2