高阶微分方程(3)

代入（1），则得一个n-1阶的微分方程F

n 1

) 0

(y,z,, ,1dydyn 1

2例

dt f(x) （3）

，则 v dt

这是一个二阶的自治方程。令

d2xdt2

dv dx v dx

dv dtdxdtdt

代入（3）则得一阶方程v分离变量积分得v2

f(x)

c f(x)dx c F(X) 11

或

v2 2F(X) c1 （4）

其中

c1是常数，F(x)是f(x)的一个原函数。

（4）是一个一阶微分方程 c1，

对于固定的

1

分离变量，积分得其中

G(x,c1) t c2， （5）

c2是第二个常数，而G(x,c1)

，

1

称（5）为微分方程（3）的通积分。

例1、 单摆方程

取一根长度为的细线OM，把端点

l

o固定在一顶板上，而另一端点M挂上

一个质量为m的小球，将小球拉离平衡位置，然后松开，让它在一垂直平面内自由摆动，这样就构成一个单摆。（设单摆除重力外不受其他力的作用）。

设直线OM与垂线op的有向夹角为动可以用弧度x

x，并设逆时针方向为正，则单摆的振

x(t)来描述，单摆振动时，M端只能在圆周上运动，且它的

2

，切向加速度为l 。 l dt角速度为，切线速度为

dt

现将重力mg分解到切线T及向径N上，在T上的分力为T

mfsinx