高阶微分方程(8)

x (x2 yux y2)

uy32

（18）

3

(x2

y2)

2

其中 u

GmS

用y乘以（18）的第一式，用x乘以（18）的第二式，相减得：

d

dt

(yx xy ) 0 由此可得一个首次积分 yx

xy c4 用

zx

乘以（18）的第一式，用zy 乘以（18）的第二式，相加得： zx x zy y

zu(xx

yy )3

(x2 y2)2

d1

即 dt(x 2 y 2) 2uddt

(x2 y2

) 2 x 2 y 2 2u(x2 y2

1

由此又得到一个首次积分

)2

c5 为讨论方便，引进极坐标

x rcos ,y rsin

，那么

x (drd cos rsin )d dt y (drd sin rcos )d

dt

代入（19）得 r2

d

dt

c4 即有 12d 2r

dt 1

2

c4 19） 20）

21）

22） （（（（