高阶微分方程(7)

(t), (t), (t)) mE r (t) mE( xyz

GmEmSr(t) mr(t) 2再根据万有引力定律，可建立地球的运动方程为E |r(t)||r(t)|

Gmr S(t) 即 r(t) （13） |r(t)|3

将（13）写成分量形式，即得如下的非线性方程组

Gmsx x (x2 y2 z2)3 Gmsy

y （14）

(x2 y2 z2)3 Gmsz z 2223

(x y z)

这是一个自治的微分方程组。

求解这种高阶非线性方程组常用首次积分，由（14）可以得到

d2yd2zddydzz2 y2 0 即 (z y) 0

dtdtdtdtdt

由此可得一个首次积分

yz c1 （15）zy

其中c1是任意常数，同理可得：

c2 （16） zxxz xy c3 （17）yx

这里c2，c3都是任意常数。

用x乘以（15），y乘以（16），z乘以（17），然后相加得，

c1x c2y c3z 0

这就是地球运行轨道所在平面的方程，这就证明了地球运行的轨道永远在一平面上。即二体问题是一个平面问题。下面设这个平面为x，y，坐标平面。即地球的轨道永远在平面z=0上，那么描述地球位置的坐标只要两个，即x和y，而运动的方程为一个4阶方程：