高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不(3)

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③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列 （III ）证明： 1121211,1,2,...,,1212

2(2)2

k k k k k k a k n a ++--==<=-- 12231 (2)

n n a a a n a a a +∴+++< 111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232

k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-

1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->- *122311...().232

n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 2．放缩后为“差比”数列，再求和

例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n n

n a n a )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即02

1>=-+n n n n a n a a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥=

-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ． 令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2

122212132-+++= ，两式相减得： n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ， 故得11213-++-

≥>n n n n a a ．

3．放缩后成等差数列，再求和

例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.