高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不(5)

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（3）证明：对任意的整数4>m ，有8

711154<+++m a a a 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2；

⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n

n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1） 化简得：1122(1)n n n a a --=+-

2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32)

1([232)1(11+--=+---n n n n a a 故数列{32)

1(+-n n a }是以321+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)

1(---=+-n n n a ∴22[2(1)]3n n n a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n n n a -=

--. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=232451113111[]221212(1)m m

m a a a -+++=+++-+-- ，如果我们把上式中的分母中的1±去掉，就可利用等比数列的前n 项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：32322

121121121+>++-， 43432121121121+<-++，因此，可将1

212-保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对m 进行分类讨论，（1）当m 为偶数)4(>m 时， m a a a 11154+++ )11()11(11654m

m a a a a a +++++=- )2

12121(2321243-++++<m )2

11(4123214--⨯+=m 8321+<

87= （2）当m 是奇数)4(>m 时，1+m 为偶数，

8

711111111165454<+++++<++++m m m a a a a a a a a