高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不(4)

4

(1) 求证：2214

n n n a a S ++<； (2)

<⋅⋅⋅+<

解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有

11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得

0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-= 所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2

n n n S += 所以4

2)1(212)1(21222++=++∙<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以2

12)1(2+<+<n n n n

，所以 2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 2

12322++++<n 21

22312-=+=+n S n

n ；

222)

1(222

21

21n

n S n n n

S S S =+=+++>++ 练习：

1.（08南京一模22题）设函数213()44

f x x bx =+-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈.

(Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列

{}n a 的通项公式；

1,1n n N a +=

∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和16的大小并证明之. 解：(Ⅰ) 12

b =（利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+； （Ⅲ）∵21111(22)22123n

c n n n ⎛⎫=<- ⎪+++⎝⎭，∴1231111+23236

n n T c c c c n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅<-< ⎪+⎝⎭… 2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=， 1≥n

（1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；