浅谈不定积分的几种简单解法.doc(11)

dt1t

arct c (t2 r2)krr

当k 1时，（1）式右边第一个不定积分为

t1

dt c22k 1 (t2 r2)k

2(1 k)(t r)

对于第二个不定积分，记

Ik

dt

(t2 r2)k

可用分部积分法导出递推公式如下：

dt1(t2 r2) t2

Ik 22k 2 22k(t r)r(t r)

11t2 2Ik 1 2 2dt2k

rr(t r)

111

I td2k 1222k 1 r2r(k 1) (t r)

11t

I [ Ik 1]k 12222k 1r2r(k 1)(t r)

经整理得到

Ik

dtt2k 3

Ik 1

(t2 r2)k2r2(k 1)t(2 r2)k i2r2(k 1) （2）

重复使用递推公式（2），最终归为计算I1，且

I1

dt1t

arct c

r (t2 r2)kr

6 三角函数有理式的积分 R sinx,cosx dx

R sinx,cosx dx是三角函数有理式的 。一般通过变换

t tan

x

2，可把他化为