培优专题15 三角形总复习(含答案)(3)

证明：过M作MG⊥AD于G，∵DM平分∠ADC，MC⊥DC，MG⊥AD

∴MC＝MG（在角的平分线上的点到角的两边距离相等）

∵MC＝MB，∴MG＝MB

而MG⊥AD，MB⊥AB

∴M在∠ADC的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）∴DM平分∠ADC

说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG＝MB。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。

4. 全等三角形的应用

（1）构造全等三角形解决问题

例4. 已知如图4，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。求证：的周长等于2。

分析：欲证的周长等于2，需证明它等于等边的两边的长，只需证。采用旋转构造全等的方法来解决。

证明：以点D为旋转中心，将顺时针旋转120°，点B落在点C的位置，点M 落在M'点的位置。