2020-2021学年河南省豫南九校高二上学期第二次联(14)

第 14 页 共 18 页 综上所述：当0m <时，不等式的解集为：2{|x

x m ≤

或1}x ≥； 当0m =时，不等式的解集为：{}1x x ≥； 当02m <≤时，不等式的解集为：21x x m ⎧

⎫≤≤⎨⎬⎩⎭

； 当2m >时，不等式的解集为：21x x m ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭

. 【点睛】关键点点睛：第一问变更主元，化为关于m 的不等式恒成立是解题关键，第二问对m 进行分类讨论是解题关键.

22．如图，在某小区内有一形状为正三角形ABC 的草地，该正三角形的边长为20米，在C 点处有一喷灌喷头，该喷头喷出的水的射程为10米，其喷射的水刚好能洒满以C 为圆心，以10米为半径的圆，在ABC 内部的扇形CPQ 区域内，现要在该三角形内修一个直线型步行道，该步行道的两个端点M ，N 分别在线段CA ，CB 上，并且与扇形的弧相切于ABC 内的T 点，步道宽度忽略不计，设∠MCT ＝α.

（1）试用α表示该步行道MN 的长度；

（2）试求出该步行道MN 的长度的最小值，并指出此时α的值.

【答案】（1）10tan 10tan 3MN παα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭

，其中03πα<<；（2）6πα=时，步203. 【分析】（1）根据题意3NCT π

∠α=-，CT MN ⊥，从而可得10tan MT α=，

10tan 3NT πα=-（），10tan 10tan 3MN παα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭

，03πα<<，即可. （2）由（1）3tan 10tan 13tan MN ααα⎛-= +⎝，令13t α+=，利用基本不等式