2020-2021学年河南省豫南九校高二上学期第二次联(15)

第 15 页 共 18 页 即可求解.

【详解】（1）因为3ACB π

∠=，所以3NCT π

∠α=-，

因为MN 与扇形弧PQ 相切于点T ，所以CT MN ⊥.

在RT CMT 中，因为10CT =，所以10tan MT α=，

在RT CNT 中，3NCT π∠α=-，所以10tan 3NT π

α=-（）， 所以10tan 10tan 3MN παα⎛⎫=+-

⎪⎝⎭，其中03πα<<. （2）因为03π

α<<

，所以0tan α<<

10tan 10tan 10tan 3MN πααα⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎝⎭⎝

令1t α+=，其中14t <<，

则410tan 10233MN t t α⎛⎫⎫=+==+-≥ ⎪ ⎝⎭⎝ 当且仅当4t t =时，即2t =，6πα=时，MN

的最小值为3

， 故当6π

α=

时，步行道的长度有最小值

3. 【点睛】

关键点点睛：本题考查了三角恒等变换，解题的关键是求

10tan MN α⎛=+ ⎝，考查了运算求解能力.

23．已知各项都大于1的数列{a n }的前n 项和为S n ，4S n －4n ＋1＝a n 2：数列{b n }的前n 项和为T n ，b n ＋T n ＝1.

（1）分别求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；

（2）设数列{c n }满足c n ＝a n b n ，若对任意的n ∈N.不等式5(λn ＋3b n )－2b n S n >λn (c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n )恒成立，试求实数λ的取值范围.

【答案】（1）21n a n =+；12n n

b =；（2）1λ≥. 【分析】（1）根据n S 与n a 的关系可得12n n a a +-=，以及112n n b b +=

，再利用等差数列的通项公式以及等比数列的通项公式即可求解.

（2）利用错位相减法求出123n n M c c c c =++++，然后再分离参数即可求解.