第二章导数与微分习题册答案(2)

(a) lim所以g

x a

g(x) g(a)

x a

lim

x a

x a (x)x a

lim

x a

(x a) (x)

x a

(a)

(a) limg

x a

g(x) g(a)

x a

lim

x a

x a (x)x a

lim

x a

(x a) (x)

x a

(a)

所以不一定可导

8、f (0) lim

f(x) f(0)

x 0

x 0

lim(x 1)(x 2) (x 2011) 2011!

x 0

9、由f(0) g(0) 0，则f (0) lim

a b lim

x 0

f(x)x

x 0

，g (0) lim

g(x)x

x 0

f(x)

a bf (0) f (0) f(x)c f (0)x

由④，lim

ax bf(x)cx f(x)

x 0

c

2

(f (0)) (c b)f (0) a 0

同理lim

ax bg(x)cx g(x)

a b lim

x 0

f(x)

x a bg (0) g (0) f(x)c g (0)x

x 0

c

(g (0)) (c b)g (0) a 0

2

即f (0)，g (0)为方程x (c b)x a 0的根，依根与系数的关系有：

2

f (0) g (0) a

又由②，f (0) g (0) 1，所以a 1

要上述推导有效，还需要证明c f (0) 0，c g (0) 0（反证） 现证c f (0) 0，c g (0) 0 则a bf (0) 0（因为f (0)存在）

ax bf(x)cx f(x)

b(cx f(x))cx f(x)

由f (0) c，所以a bc，从而f (0) lim

x 0

lim

x 0

b

2

同理g (0) b，又因为f (0) g (0) 1 b 与b是实数矛盾．