调和级数发散性的多种证明(12)

( 1)k

n Ak

1

( 1)kvk， n

pk 1

1pk 111

其中 vk k

en Aknv 0nk vv 0e

pk1

(e 1)ek kk e ee e

11e 1k

(e 1 )e . k

e e22e

=

下面证明级数 an是发散的，采用反证法，假设 an收敛，则由柯西收敛准

n 1

n 1

则，对于任给的 0，存在N0，使得当n N0时，对于一切自然数p，均有

|an an 1 an p| .

今取

e 1

0，对于有此 所找到的N0，在n N0中选一个数nk，此处k4e

是适当大的一个自然数，有nk Ak，即

ek nk e ek.

又取自然数p pk 1，则此时应有

|ank ank 1 ank pk 1| （1）

但另一方面却有

|ank ank 1 ank pk 1| |uk| vk

e 1

2 (2) 2e

(1)式与(2)式矛盾，因而级数 an发散.

n 1

利用这个结论我们可以证明调和级数发散。

lnn ( 1) 1

由于 的部分和大于 的部分和，

n n

( 1)

所以由

nn 1

lnn

1

发散知 发散.

n 1n